1.2.3三角函数的诱导公式(一)课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于________对称－α与α关于________对称π－α与α关于________对称2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，tan(π＋α)＝________.一、填空题1．sin585°的值为________．2．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.3．若n为整数，则代数式的化简结果是________．4．三角函数式的化简结果是______.5．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________.6．tan(5π＋α)＝2，则的值为________．7．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝________.(用k表示)8．代数式的化简结果是______．9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2011)＝1，则f(2012)＝____.10．若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(π＋α)的值为________．二、解答题11．若cos(α－π)＝－，求的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tanβ＝0.能力提升13．化简：(其中k∈Z)．14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式一将角转化为0～2π求值公式二将负角转化为正角求值公式三将角转化为0～求值公式四将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值2.诱导公式的记忆“”这组诱导公式的记忆口诀是函数名不变，符号看象限．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．1．2.3三角函数的诱导公式(一)知识梳理1．原点x轴y轴2．(1)sinαcosαtanα(2)－sinαcosα－tanα(3)sinα－cosα－tanα(4)－sinα－cosαtanα作业设计1．－2.－3.tanα4．tanα解析原式＝＝＝＝＝tanα.5．－解析由cos(π＋α)＝－，得cosα＝，∴sin(2π＋α)＝sinα＝－＝－(α为第四象限角)．6．3解析原式＝＝＝＝3.7．－解析∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝.∴tan80°＝.∴tan100°＝－tan80°＝－.8．－1解析原式＝＝＝＝＝＝－1.9．3解析f(2011)＝asin(2011π＋α)＋bcos(2011π＋β)＋2＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2＝2－(asinα＋bcosβ)＝1，∴asinα＋bcosβ＝1，f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＋2＝asinα＋bcosβ＋2＝3.10．－解析∵sin(π－α)＝sinα＝＝－，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－＝－＝－.11．解原式＝＝＝＝－tanα.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cosα＝，sinα＝＝，∴tanα＝＝，∴原式＝－.当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－，∴原式＝.综上，原式＝±.12．证明∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝2kπ＋－β(k∈Z)．tan(2α＋β)＋tanβ＝tan＋tanβ＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tanβ＝tan(4kπ＋π－β)＋tanβ＝tan(π－β)＋tanβ＝－tanβ＋tanβ＝0，∴原式成立．13．解当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则原式＝＝＝＝－1.当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则原式＝＝＝＝－1.∴原式的值为－1.14．解由条件得sinA＝sinB，cosA＝cosB，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±，又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.当A＝π时，cosB＝－<0，∴B∈，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．∴A＝，cosB＝，∴B＝，∴C＝π.
