第二章空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若a，b，c为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2B．3C．4D．52．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈AB，CD〉等于()A．－B.C.D．－6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确8．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于()A．19B．－C.D.9.如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为()A.B.C.D.10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则sin〈DB1，CM〉的值等于()A.B.C.D.题号12345678910答案二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝______.12．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________________．13．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．14．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．15.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.17．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．18.(12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．(1)求证：EF∥平面ACD1；(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值．19．(12分)如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.20.(13分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．21．(14分)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．第二章空间向量与立体几何(A)1．C[只有命题④正确．]2．D[如图，A1B＝AB－AA1＝CB－CA－AA1＝CB－CA－CC1＝b－a－c.]3．D[ a∥b，∴存在实数λ，使，∴.]4．C[设a＝(x，y，z)， AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，又|a|＝，a⊥AB，a⊥AC，∴∴或∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]5．C[ AB＝(1,0,0)，CD＝(－2，－2,1)，∴cos〈AB，CD〉＝＝－，∴sin〈AB，CD〉＝.]6．B[建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，C1(0，，0)，B.∴AB1＝，C1B＝，∴AB1·C1B＝－－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.]7．A[ v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]8．C[AB＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，则|AB|＝＝＝.故当x＝时，|AB|取最小值．]9．C[如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，可以求得BD＝，ED＝. BC＝BD＋DE＋EC，∴BC2＝BD2＋DE2＋EC2＋2BD·DE＋2DE·EC...
