§2三角形中的几何计算课时目标1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明.1.正弦定理和余弦定理(1)正弦定理:===2R(R为△ABC外接圆半径);(2)余弦定理:a2=____________________或cosA=______________(其余形式略)2.在△ABC中,有以下常用结论:(1)a+b>c,b+c>a,c+a>b;(2)a>b⇔______⇔____________;(3)A+B+C=π,=-;(4)sin(A+B)=__________,cos(A+B)=____________________________________,sin=______________,cos=___________________________________.3.三角形常用面积公式(1)S=____________(ha表示a边上的高);(2)S=absinC=____________=______________;(3)S=(可由正弦定理推得);(4)S=2R2sinA·sinB·sinC(R是三角形外接圆半径);(5)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).一、选择题1.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的直径为()A.B.C.D.92.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于()A.B.C.D.3.在△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为,那么b等于()A.B.1+C.D.2+4.平行四边形中,AC=,BD=,周长为18,则平行四边形面积是()A.16B.17C.18D.18.535.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,a=,cosA=,则△ABC的面积S为()A.B.C.D.66.在△ABC中,已知cosA=,sinB=,则cosC的值为()A.B.C.和D.-二、填空题7.如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=45°,则圆O的面积等于________.8.若平行四边形两邻边的长分别是4和4,它们的夹角是45°,则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________.9.△ABC中,已知A=60°,AB∶AC=8∶5,面积为10,则其周长为________.10.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为________.三、解答题11.在△ABC中,AC边上的角平分线BD交AC边于点D.求证:=.12.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求圆内接四边形ABCD的面积.能力提升13.一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与B之间,P是此直线外一点,设∠APC=α,∠BPC=β.求证:=+.14.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,∠BAD=θ,而△BCD是正三角形.(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数;(2)求S的最大值及此时θ的取值.解三角形广泛应用于解各种平面图形,如平行四边形、梯形、扇形及一些简单的不规则图形.处理时,可添加适当的辅助线构造三角形,将问题纳入到某个三角形中,再选择正、余弦定理加以解决.第二章解三角形§2三角形中的几何计算答案知识梳理1.(2)b2+c2-2bccosA2.A>BsinA>sinB(4)sinC-cosCcossin3.(1)aha(2)acsinBbcsinA作业设计1.B[设另一条边为x,则x2=22+32-2×2×3×,∴x2=9,∴x=3.设cosθ=,则sinθ=.∴2R===.]2.B[设BC=a,则BM=MC=.在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AMcos∠AMB,即72=a2+42-2××4·cos∠AMB.①在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC即62=42+a2+2×4×·cos∠AMB.②①+②得:72+62=42+42+a2,∴a=.]3.B[ 2b=a+c,S=acsinB=,∴ac=6.∴b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2accosB-2ac.∴b2=4b2-6-12,∴b2=2+4,b=1+.]4.A[设两邻边AD=b,AB=a,∠BAD=α,则a+b=9,a2+b2-2abcosα=17,a2+b2-2abcos(180°-α)=65.解得:a=5,b=4,cosα=或a=4,b=5,cosα=,∴S▱ABCD=absinα=16.]5.A[由b2-bc-2c2=0可得(b+c)(b-2c)=0.∴b=2c,在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,即6=4c2+c2-4c2·.∴c=2,从而b=4.∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=.]6.A[ cosA=,0
sinB,从而a>b,故A>B,∴cosB=,∴cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=.]7.8π解析 2R===4,∴R=2.∴S=πR2=8π.8.4解析较长的对角线长为:=4.9.20解析设AB=8k,AC=5k,k>0,则S=AB·AC·sinA=10k2=10.∴k=1,AB=8,AC=5,由余弦定理:BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=82+52-2×8×5×...