2．2.3向量的数乘课时目标1．掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a相乘，叫做向量的________，记作________，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝________.(2)λa(a≠0)的方向；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝________.(3)λ(a＋b)＝________.特别地，有(－λ)a＝________＝________；λ(a－b)＝________.3．向量的线性运算向量的________与向量的________、________统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________________.4．向量共线定理如果有一个实数λ，使________________(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ使b＝λa.一、填空题1．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝________________.2．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC＝xOA＋yOB，则x＋y＝________.3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.4．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是________．5．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则点P与△ABC的关系为________．(填序号)①P在△ABC内部；②P在△ABC外部；③P在AB边上或其延长线上；④P在AC边上．6.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)①－BC＋BA；②－BC－BA；③BC－BA；④BC＋BA.7.如图所示，在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a，b表示)8．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.9．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s＝________.10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝______.二、解答题11．两个非零向量a、b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．12.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M、N、C三点共线.能力提升13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ∈[0∞，＋))，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．(填序号即可)①外心；②内心；③重心；④垂心．14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝________.(用a，b表示)1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．2.3向量的数乘知识梳理1．数乘λa(1)|λ||a|(2)λ>0λ<0002．(1)(λμ)a(2)λa＋μa(3)λa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb3．数乘加法减法λμ1a±λμ2b4．b＝λa作业设计1.a－b＋c2．1解析 A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使AC＝λAB.∴OC－OA＝λ(OB－OA)．∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.3.解析当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此时，m，n共线．4．A、B、D解析 BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A、B、D三点共线．5．④解析 PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA，∴P在AC边上．6．①解析－BC＋BA＝CB＋BA＝CB＋BD＝CD.7.(b－a)解析MN＝MB＋BA＋AN＝－b－a＋AC＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．8．3解析 MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.9.解析 CD＝CB＋BD＝4BD，∴CB＝3BD.∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC＝AB－AC∴r＝，s＝－，r－s＝.10．2解析 BC2＝16，∴|BC|＝4.又|AB－AC|＝|CB|＝4，∴|AB＋AC|＝4. M为BC中点，∴AM＝(AB...
