1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()A．第4项B．第4、5两项C．第5项D．第3、4两项【答案】B【解析】(x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．2．若n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A．210B．120C．461D．416【答案】A【解析】由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C＝210.3．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，∴奇数的个数是2，故选A.4．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝()A．2nB．0C．－1D．1【答案】D【解析】原式＝(2－1)n＝1，故选D.5.8的展开式中x4项的系数是()A．16B．70C．560D．1120【答案】D【解析】考查二项式定理的展开式．]设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝C(x2)8－r(2x－1)r＝C·2r·x16－3r，∴16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C24＝1120.6．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】(2－)8的通项式为Tr＋1＝C28－r(－)r＝(－1)r·28－rCx，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.二、填空题7．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．【答案】510【解析】令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.8．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．1【答案】2n－132【解析】用不完全归纳法，猜想得出．三、解答题9．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．【解析】(1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.(3)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.10．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．【解析】方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，则Tr＋1＝C·(x－2x2)r·(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Cxr－k·(－2x2)k＝(－2)k·C·xx＋k.令r＋k＝4，则k＝4－r.∵0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∈N，∴或或.∴展开式中含x4的项为[C·(－2)2·C＋C·(－2)·C＋C·(－2)0·C]·x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5·(1＋2x)5，则展开式中含x4的项为C·C·(2x)4＋C·(－x)·C·(2x)3＋C·(－x)2·C(2x)2＋C·(－x)3·C·(2x)＋C·(－x)4·C·(2x)0＝－15x4.2
