复合函数的概念及复合函数的单调性一、知识点内容和要求：理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间二、教学过程设计（一）复习函数的单调性引例：函数y=f（x）在上单调递减，则函数（a＞0，且a≠1）增减性如何？（二）新课1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。例如：函数是由复合而成立。函数是由复合而成立，a是中间变量。2、复合函数单调性由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；1（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。即：同增异减。注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。例1、讨论函数的单调性（1）（2）解：①又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。1、（1）减区间，增区间；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。2、已知求g（x）的单调区间。2提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。例3、确定函数的单调区间。提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。函数的递增区间分别为（-∞，-1]，[0，+∞）函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。作业：1、求下列函数的单调区间。2、求函数的递减区间。3、讨论下列函数的单调性。（1）答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）2、[，2]3、（-∞，-2）4、（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；3
