专题强化训练(三)三角恒等变形(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－B．－C．D．B[由已知得tanθ＝2.∴cos2θ＝＝＝＝－.]2．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝()A．B．C．－D．－C[因为sinα＋2cosα＝，又sin2α＋cos2α＝1，联立解得或故tanα＝＝－或tanα＝3，代入可得tan2α＝＝＝－或tan2α＝＝＝－.]3．将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个长度单位后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A．B．C．D．B[y＝cosx＋sinx＝2cos，将函数y＝2cos的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，得到y＝2cos，此时关于y轴对称，则m－＝kπ，k∈Z，所以m＝＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，m的最小值是.]4．已知f(x)＝，当α∈时，f(sin2α)－f(－sin2α)可化简为()A．2sinαB．－2cosαC．－2sinαD．2cosαD[f(sin2α)－f(－sin2α)＝－＝－＝|sinα－cosα|－|sinα＋cosα|，由α∈，所以sinα＜cosα＜0，即f(sin2α)－f(－sin2α)＝2cosα.]5．函数y＝sinxcosx＋cos2x－的图像的一个对称中心为()A．B．C．D．B[y＝sin2x＋(1＋cos2x)－＝sin－，令2x＋＝kπ(k∈Z)，x＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，∴函数图像的一个对称中心为.]二、填空题16．若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝________．－2[由题意知，tanα＝－2，sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2cos2α－2sin2α＝＝＝＝－2.]7．若＝2020，则＋tan2α＝________．2020[＋tan2α＝＋＝＝＝＝＝2020.]8．函数y＝(acosx＋bsinx)cosx有最大值2，最小值－1，则实数a＝________，b＝________．1±2[y＝acos2x＋bsinxcosx＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋φ)＋，∴＋＝2，－＋＝－1，∴a＝1，b＝±2.]三、解答题9．已知△ABC的内角B满足2cos2B－8cosB＋5＝0，若BC＝a，CA＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．求sin(B＋θ).[解]2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，4cos2B－8cosB＋3＝0，得cosB＝，sinB＝，cosθ＝＝－，sinθ＝，sin(B＋θ)＝sinBcosθ＋cosBsinθ＝.10．求证：＝.[证明]原式可化简为＝，即＝tan2θ，而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边，所以原式得证．1．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝()A．B．C．D．A[tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.]2．函数f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)的最小正周期是()A．B．π2C．D．2πB[法一：∵f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝4＝4sincos＝2sin，∴T＝＝π.法二：∵f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sinx)＝3sinxcosx＋cos2x－sin2x－sinxcosx＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴T＝＝π.故选B.]3．已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．－1[由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.]4．函数y＝sinx－cosx的图像可由函数y＝sinx＋cosx的图像至少向右平移______个单位长度得到．[因为y＝sinx＋cosx＝2sin，y＝sinx－cosx＝2sin，所以把y＝2sin的图像至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图像．]5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sinxcosx)＋b.(1)当a>0时，求f(x)的单调递增区间；(2)当a<0且x∈时，f(x)的值域是[3，4]，求a，b的值．[解]f(x)＝a·＋a·sin2x＋b＝sin＋＋b.(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)0≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin≤1，f(x)min＝a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，∴a＝2－2，b＝4.3
