3.2双曲线的简单性质[A组基础巩固]1．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于()A．2B.C.D．1解析： c2＝a2＋3，∴＝＝4，得a＝1.答案：D2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知解得故所求双曲线的方程为x2－＝1.答案：D3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线的一个交点为P，且∠F1PF2＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为()A.－1B.＋1C.D.解析：由题设知∠F1PF2＋∠PF1F2＝90°.又∠F1PF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝30°.不妨设P(c，d)(d>0)，则|PF2|＝d，|PF1|＝2d，|F1F2|＝d.从而2a＝|PF1|－|PF2|＝2d－d＝d,2c＝|F1F2|＝d，故e＝＝＝.答案：D4．若双曲线经过点(6，)，且渐近线方程是y＝±x，则这条双曲线的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D.－＝1解析：设双曲线的方程为y2－＝λ(λ≠0)，将(6，)代入该方程可得λ的值．答案：C5．已知双曲线－y2＝1，则其渐近线方程是________，离心率e＝________.解析：因为a2＝4，b2＝1，所以c2＝5.即a＝2，c＝.e＝.将－y2＝1中右边的“1”换为“0”，可解出渐近线方程．答案：y＝±x6．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为__________．解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则AB的中点坐标为，∴2－2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2.答案：27．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析：由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.1 抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.又 c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，∴a2＝4，b2＝12.∴所求双曲线的方程为－＝1.答案：－＝18．根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)过点P(3，－)，离心率为；(2)与椭圆＋＝1的公共焦点，且离心率e＝.解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． e＝，∴＝2，即a2＝b2.①又双曲线过点P(3，－)，则－＝1，②由①②，得a2＝b2＝4，∴双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理a2＝b2，③－＝1，④由③④，得a2＝b2＝－4(舍去)．综上，双曲线的标准方程为－＝1.(2)椭圆＋＝1的焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝4，e＝＝，∴a＝3，b2＝c2－a2＝7，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.9．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，求△AFB的面积．解析：双曲线－＝1的右顶点为A(3,0)，右焦点F(5,0)，一条渐近线为y＝－x，则BF所在直线为y＝－(x－5)，由，得B(，)，∴S△AFB＝·|AF|·|yB|＝.[B组能力提升]1．已知双曲线C：－＝1的两条渐近线分别是l1，l2，点M是双曲线C上一点，若点M到渐近线l1的距离是3，则点M到渐近线l2的距离是()A.B．1C.D．3解析：双曲线C：－＝1的渐近线方程为2x±3y＝0，设M(x1，y1)为双曲线C上一点，则－＝1，即4x－9y＝36，点M到两条渐近线的距离之积为·＝＝为常数，所以当点M到渐近线l1的距离是3时，点M到渐近线l2的距离是÷3＝，选A.答案：A22．已知等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式不正确的是()A．e2＋e1＝2B．e2－e1＝2C．e2e1＝2D.>2解析：设三角形的边长为2.由题意，可求得椭圆的离心率e1＝，双曲线的离心率e2＝，所以e1＋e2＝2，e1e2＝2，e2－e1＝2，＝2＋>2.故选A.答案：A3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．解析：根据两条直线垂...
