课时分层作业(十八)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋cB．3a＋4b＋cC．3a＋2bD．cD[由f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0，当00，当x>2时，f′(x)<0，因此当x＝0时，f(x)有极小值，且f(0)＝c，故选D．]2．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D[ f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．]3．函数y＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为()A．0B．1C．2D．4[答案]A4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是()A．0B．1C．5D．6D[ f(x)＝2x3－3x2＋a，∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，经判断易知极大值为f(0)＝a＝6.]5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(1)A．，0B．0，C．－，0D．0，－A[f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0.]二、填空题6．若函数f(x)＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．－19[f′(x)＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由f′(x)＝0，得x＝0或4.且当x>4或x<0时，f′(x)<0；当00.所以x＝4时函数取到极大值，故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.]7．函数f(x)＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.－2－[f′(x)＝＋2bx＋3＝， 函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．∴由根与系数的关系知解得]8．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为__________．[1,5)[f′(x)＝3x2＋2x－a，由题意知即解得1≤a<5.]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4在x＝1处取得极值.(1)求a，b的值；(2)求函数的另一个极值．[解](1) f(x)＝x3＋ax2＋bx＋4，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意知f′(1)＝0，f(1)＝，即解得(2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋4，∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数的另一个极值在x＝－处取得，是极大值，极大值为f＝.210．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？[解](1)f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0.x取足够小的负数时，有f(x)<0.所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1. 曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即＋a<0或a－1>0.∴a<－或a>1.∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．1．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a<－1B．a>－1C．a<－D．a>－A[因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.]2．(多选题)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断不正确的是()A．f(x)在(－2,1)上是增函数B．当x＝2时，f(x)取极大值C．f(x)在(1,3)上是减函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案]ACD3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．318[f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意，得即解得或当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.当x变化时，f′(x)，f...
