2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．函数y＝cos2x＋sin的导数为()A．－2sin2x＋B．2sin2x＋C．－2sin2x＋D．2sin2x－解析：y′x＝(cos2x＋sin)′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋.答案：A2．函数y＝log3cos2x的导数是()A．－2log3e·tanxB．2log3e·cotxC．－2log3cosxD.解析：y′＝log3e(cos2x)′＝log3e·2cosx·(cosx)′＝log3e·2cosx(－sinx)＝－2log3e·tanx.答案：A3．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2B．4e2C．2e2D．e2解析：因为y′＝·e，所以切线的斜率k＝e2.所以切线的方程为y－e2＝e2(x－4)．所以横、纵截距分别为2，－e2.所以S＝×2×|－e2|＝e2.答案：D4．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝xC．y＝3x－2D．y＝－2x＋3解析：由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(1)＝2f(1)－1＋8－8，∴f(1)＝1.又f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8，∴f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，解得f′(1)＝2.故曲线在(1，f(1))即(1,1)处切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，故选A.答案：A二、填空题5．设f(x)＝，且f′(1)＝2，则a等于___________．解析：∵f′(x)＝，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝，又f′(1)＝2，∴＝2，解得a＝2.答案：26．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是_______．1解析：设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．答案：(e，e)三、解答题7．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝xcossin；(3)y＝ln；(4)y＝a3xcos(2x＋1)．解析：(1)y′＝′＝－(2＋5x)10＋·10(2＋5x)9·5＝－＋.(2)∵y＝xcossin＝x(－sin2x)cos2x＝－xsin4x，∴y′＝′＝－sin4x－cos4x·4＝－sin4x－2xcos4x.(3)y′＝(ln)′＝()′＝·(x2＋1)－·(x2＋1)′＝···2x＝.(4)y′＝[a3xcos(2x＋1)]′＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x·[cos(2x＋1)]′＝a3xlna·(3x)′cos(2x＋1)＋a3x·[－sin(2x＋1)]·(2x＋1)′＝3a3xlna·cos(2x＋1)－2a3x·sin(2x＋1)＝a3x[3lna·cos(2x＋1)－2sin(2x＋1)]．8．求曲线y＝在点处的切线方程．解析：y′＝′＝－(x2－3x)－(x2－3x)′＝－(x2－3x)－·(2x－3)，所以曲线在点处的切线斜率为k＝y′|x＝4＝－×(16－12)－×(8－3)＝－.所以切线方程为y－＝－(x－4)．即5x＋16y－28＝0.9．已知函数f(x)＝logax和g(x)＝2loga(2x＋t－2)的图像在x＝2处的切线互相平行，其中a＞0，a≠1，t∈R.求t的值．解析：∵f′(x)＝logae，g′(x)＝logae，函数f(x)和g(x)的图像在x＝2处的切线互相平行，∴f′(2)＝g′(2)，且f(2)≠g(2)．2∴logae＝logae，且loga2≠2loga(2＋t)．∴t＝6.3
