第59讲双曲线1．(2015·福建卷)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(B)A．11B．9C．5D．3由题意知a＝3.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝9.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(C)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x因为＝，所以c＝a，所以b＝＝a.而－＝1的渐近线方程为y＝±x，所以所求的渐近线方程为y＝±x.3．(2017·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(D)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y＝x上)．由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，所以＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，所以a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.4．(2017·新课标卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(D)A.B.C.D.因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.5．(2016·北京卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝1，b＝2.因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，所以＝2.①又双曲线的一个焦点为(，0)，所以a2＋b2＝5.②由①②得a＝1，b＝2.6．(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是2.如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，所以2×＝3×2c，即2b2＝3ac，所以2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理，得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．7．已知点P是双曲线－＝1(a>0)上的一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于1，且∠F1PF2＝90°，求双曲线的方程．根据题意有由①2－②得|PF1|·|PF2|＝2(c2－4a2)，又c2＝4a2＋a2＝5a2，所以S△PF1F1＝|PF1|·|PF2|＝a2＝1，故所求双曲线方程为－y2＝1.8．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是(A)A．(－，)B．(－，)C．(－，)D．(－，)由题意知F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以MF1·MF2＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3＝3y－1<0，解得－0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0，b)，且BA·BF＝0，则双曲线C的离心率为.因为A(－a,0)，F(c,0)，B(0，b)，所以BA＝(－a，－b)，BF＝(c，－b)，因为BA·BF＝0，所以－ac＋b2＝0，即c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，所以e＝(负值舍去)．10．已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点(－2,0)是它的一个焦点，并且离心率为.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M(0,1)，设P(x0，y0)是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求MP·MQ的取值范围．(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1，故所求双曲线C的方程为－y2＝1.(2)依题意有：Q(－x0，－y0)，所以MP＝(x0，y0－1)，MQ＝(－x0，－y0－1)，所以MP·MQ＝－x－y＋1，又－y＝1，所以MP·MQ＝－x＋2，由－y＝1可得，x≥3，所以MP·MQ＝－x＋2≤－2.故MP·MQ的取值范围是(－∞，－2]．
