学业分层测评(二十六)两角和与差的正切(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若0＜α＜，0＜β＜，且tanα＝2，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝________.【解析】∵tanα＝2，tanβ＝3，∴tan(α＋β)＝＝＝－1.【答案】－12．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于________．【解析】tan(α＋β)＝＝＝4，∴1－tanα·tanβ＝，tanαtanβ＝.【答案】3．已知A，B都是锐角，且tanA＝，sinB＝，则A＋B＝________.【解析】∵B∈，sinB＝，∴cosB＝.∴tanB＝.∴tan(A＋B)＝＝＝1.又α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．∴α＋β＝.【答案】4．已知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)的值等于________．【解析】由已知tanα＝－3＋，tanβ＝－3－或tanα＝－3－，tanβ＝－3＋，∴tan(α－β)＝＝±.【答案】±5．(2016·扬州高一检测)若tan＝2，则＝________.【导学号：06460077】【解析】由tan＝＝2，得tanα＝，∴＝＝＝.【答案】6.＝________.【解析】原式＝＝＝tan(55°－25°)＝tan30°＝.【答案】7．(2016·泰州高一检测)在△ABC中，若00，tanC>0，B，C为锐角．<1，∴cosBcosC>sinBsinC.∴cosBcosC－sinBsinC>0，∴cos(B＋C)>0，故A为钝角．【答案】钝角8．(2016·南京高一检测)已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值为________．【解析】∵sinα＝，α是第二象限角，∴cosα＝－，∴tanα＝－.∴tanβ＝＝＝＝7.【答案】71二、解答题9．求下列各式的值：(1)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°；(2)tan70°－tan10°－tan70°tan10°.【解】(1)因为tan(17°＋28°)＝，所以tan17°＋tan28°＝tan45°(1－tan17°tan28°)＝1－tan17°tan28°，所以tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝1.(2)因为tan60°＝tan(70°－10°)＝，所以tan70°－tan10°＝＋tan10°tan70°，所以tan70°－tan10°－tan10°tan70°＝.10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋，求角A，B，C的大小．【解】由题意知：解之得：B＝60°且A＋C＝120°，∴tan(A＋C)＝tan120°＝－＝又∵tanAtanC＝2＋，∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)·(1－tanAtanC)＝tan120°(1－2－)＝－(－1－)＝3＋.∵tanA，tanC可作为一元二次方程x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根，又∵0＜A＜B＜C＜π，∴tanA＝1，tanC＝2＋.即A＝45°，C＝75°.所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.能力提升]1．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．【解析】∵tan30°＝tan(10°＋20°)＝＝.∴tan10°＋tan20°＝(1－tan10°tan20°)∴tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝tan10°tan20°＋tan60°(tan10°＋tan20°)＝tan10°tan20°＋×(1－tan10°tan20°)＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1.【答案】12．已知tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝________.【解析】∵tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tanα＋tanβ＝－6，tanα·tanβ＝2.则＝2＝＝＝－2.【答案】－23．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.【解析】∵tanβ＝，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ∴tan(α＋β)＝＝1.【答案】14．如图312，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.图312求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．【解】由已知得cosα＝，cosβ＝，又α，β是锐角．则sinα＝＝，sinβ＝＝.所以tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan(α＋β)＋β]＝＝＝－1，又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝.3
