“平面向量”双基过关检测一、选择题1．(2017·常州调研)已知A，B，C三点不共线，且点O满足OA＋OB＋OC＝0，则下列结论正确的是()A．OA＝AB＋BCB．OA＝AB＋BCC．OA＝AB－BCD．OA＝－AB－BC解析：选D∵OA＋OB＋OC＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA＝－×(AB＋AC)＝－(AB＋AC)＝－·(AB＋AB＋BC)＝－(2AB＋BC)＝－AB－BC.2．(2017·合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC等于()A.OA－OBB．－OA＋OBC．2OA－OBD．－OA＋2OB解析：选C因为AC＝OCOC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB.3．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选B(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60°－1＝0.4．(2016·成都一诊)在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．－B．0C.D．3解析：选A依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.5．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝()A.B．1C．4D．3解析：选B因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝22＋8·|b|·cos60°＋4|b|2＝(2)2，所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.故选B.6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析：选C设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝.7．(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝()A．－2B．－4C．－3D．－1解析：选D依题意得b＝2＝(－4,2)，2a＋b＝(－2,6)，6x＝－2×3＝－6，x＝－1，故选D.8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝()A．2B.C．2D．4解析：选A因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又OC＝λOA＋μOB，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.二、填空题9．(2016·洛阳一模)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．解析：∵AB＝(a－1,3)，AC＝(－3,4)，据题意知AB∥AC，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.答案：－10．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示)解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.答案：b－a－a－b11．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴∴∴m－n＝2－5＝－3.答案：－312．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－2三、解答题13．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解之得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．14．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m与n的夹角为，∴m·n＝|m|·|n|cos，即sinx－cosx＝，∴sin＝.又∵x∈，∴x－∈，∴x－＝，即x＝.
