高考数学活用数学基本思想解题课例高中阶段明确要求掌握的数学基本思想，主要是指函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合思想。数学基本思想在新颁布的《数学大纲》中已被列入基础知识范畴。高考中对其考查的力度也正逐年加大。因此我们在日常教学活动中，应有意识地、循序渐进地让学生了解、体会、掌握数学基本思想，并灵活应用于解决问题。以下通过笔者的一个课例，谈谈如何引导培养学生灵活应用数学基本思想解题：题目：由椭圆的顶点B(0,b)引一条弦BP(P为椭圆上的另一个点)，求的最大值。T（教师）：求解本题，并交流破题思路和所应用的数学基本思想。S1（学生）：通过审题，首先容易考虑到应用函数与方程思想，把求的最大值转化为求的函数式的最大值问题。因而有解法一）：（函数法）设P点坐标为(x，y)，则， P点在椭圆上，∴。∴。若，即时，则当y=－b时，，∴；若，即时，则当时，，∴。S2：S1的解法是先应用两点间的距离公式建立起2的二次函数式，再用配方法求得函数最值的。是否可设BP所在的直线方程为y=kx+b，再与椭圆方程联解，用韦达定理、弦长公式建立2关于x的二次函数式？S3：若设BP所在的直线方程为y=kx+b，则忽视了BP所在直线为Y轴，即为短轴另一端点的情形；并且那样建立2关于x的二次函数式，运算量太大。S4：在求函数最值时，切莫忘记隐含条件。S5：结合图象，由椭圆的范围可得，同时它又是引起讨论的原因。S6：在求2关于y的二次函数在给定区间[–b，b]的最值时，还应用了分类讨论思想。T：请S1自己总结一下。S1：我先用了转化思想，其次用了函数思想，间接用了数形结合得到隐含条件，直接用了分类讨论求得最值。S7：若把2设为一个字母，作为一个二次方程的系数，然后用判别式也可求得最值。于是有解法二）：（判别式法）由解法一）设，整理得。由对称性，知△0，得，解得。当且仅当时，，∴。S8：S7的解答结果为什么只有一种情形？S9：S7的解答结果形式上是一种，实际上包含两种：事实上由椭圆的对称性，并注意到，进一步结合题意有－by<0。当－b
