高考必考题突破讲座(五)1．已知双曲线C1与椭圆＋＝1有相同的焦点，并且经过点.(1)求C1的标准方程；(2)直线l：y＝kx－1与C1的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围．解析(1)依题意，双曲线C1的焦点坐标为F1(－4,0)，F2(4,0)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝＝4，即a＝2，又因为c＝4，所以b2＝c2－a2＝12.故双曲线的标准方程为－＝1.(2)由得(3－k2)x2＋2kx－13＝0，设该方程的两根分别为x1，x2，则解得－b>0)过点A(2,1)，离心率为，直线l：y＝x＋t(t≠0)与椭圆C交于E(x1，y1)，F(x2，y2)两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线AE，AF分别与x轴正半轴交于P，Q两点，求证：|OP|＋|OQ|为定值．解析(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由题意知，直线AE：y－1＝(x－2)，直线AF：y－1＝(x－2)，所以|OP|＝2－，|OQ|＝2－，因为直线EF：y＝x＋t(t≠0)，联立得x2＋2tx＋2t2－4＝0.当Δ＞0时，x1＋x2＝－2t，x1·x2＝2t2－4，所以|OP|＋|OQ|＝4－＝4－＝4－＝4－＝4.故|OP|＋|OQ|为定值．3．如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式＋＝2.(1)说明点M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；(2)O是坐标原点，直线l：y＝kx＋2与点M的轨迹交于不同的两点A，B，求△AOB面积的最大值．解析(1)＋＝2可表示(x，y)与(，0)，(－，0)的距离之和等于常数2，由椭圆的定义，可知此点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且a＝，c＝，故轨迹方程为＋y2＝1.(2)由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.因为Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＝36k2－36>0，k2>1，x1＋x2＝，x1x2＝，且点O到直线l的距离为d＝，|AB|＝·|x1－x2|，所以S＝|AB|·d＝×2|x1－x2|＝＝.令t＝(t>0)，则k2＝t2＋1，所以S＝＝≤，当且仅当t＝，即k＝±时，等号成立，此时S取最大值.4．(2019·汕头期中)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．解析(1)由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②由①②可解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，因为Δ＝16(12k2－3)＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为∠AOB为锐角，所以OA·OB＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，即(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.所以直线l的斜率k的取值范围为∪.5．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由．解析(1)证明：设直线AB的方程为my＝x－2，由得y2－4my－8＝0，所以y1y2＝－8为定值．(2)设存在直线l：x＝a满足条件，则AC的中点E，|AC|＝.点A在抛物线上，所以y＝4x1，因此以AC为直径的圆的半径r＝|AC|＝＝，又点E到直线x＝a的距离d＝.故l被圆截得的弦长为2＝2＝＝.当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x＝1.6．已知长轴长为4的椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P，点F是椭圆的右焦点．(1)求椭圆方程；(2)是否存在x轴上的定点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点．设点E为点B关于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．解析(1)由题意知2a＝4，所以a＝2.把点P的坐标代入＋＝1，得＋＝1，解得b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)存在定点D(4,0)满足条件．设D(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．则E(x2，－y2)，设直线l的方程为x＝my＋t，联立消去x，得(3m2＋4)y2＋6mt·y＋3t2－12＝0，所以且Δ＞0.因为FE＝(x2－1，－y2)，FA＝(x1－1，y1)，则由A，F，E三点共线，得(x2－1)y1＋(x1－1)y2＝0，即(my2＋t－1)y1＋(my1＋t－1)y2＝0，即2my1y2＋(t－1)(y1＋y2)＝0，所以2m·＋(t－1)·＝0，解得t＝4，所...
