关于抽象函数的一点思考陈磊在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问题。这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式，而只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求解此类问题时往往感到很棘手。事实上，这类问题一般都是以基本初等函数作为模型，只要我们认真分析，善于联想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，必能为我们的解题提供思路和方法。下面略举数例加以说明。一、以正比例函数为模型例1.已知是定义在R上的函数，对任意的都有，且当时，。问当时，函数是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。分析：我们知道，正比例函数满足。根据题设，我们可推知本题是以函数作为模型设计的问题。于是，我们可以判定函数的奇偶性、单调性入手来求解。解：令，则，解得又因为所以即函数为奇函数。设，则依题意，有所以，即函数在R上是减函数。因此，函数当时有最大值，且二.以一次函数为模型例2.定义在R上的函数满足，且时，。（1）设，求数列的前n项和；（2）判断的单调性，并证明。分析：对于一次函数有成立。分析本题条件可知该题是以函数为模型命制的。解：（1）令，则所以，故数列是首项为，公差为的等差数列。因此，（2）设，且，则所以于是又所以，而函数在R上是减函数。三.以指数函数为模型例3.设函数定义在R上，对于任意实数m、n，恒有，且当时，。（1）求证：，且当时，；（2）求证：在R上单调递减；（3）设集合，，若，求a的取值范围。分析：我们知道，指数函数满足：①；②。分析本题条件和结论，可推知本题是以函数为模型命制的。解：（1）令，得又当时，，所以设，则令，则所以又，所以（2）设，且，则所以从而又由已知条件及（1）的结论知恒成立所以所以所以，故在R上是单调递减的。（3）由得：因为在R上单调递减所以，即A表示圆的内部由得：所以B表示直线所以，所以直线与圆相切或相离，即解得：四.以对数函数为模型设函数定义域为，且对任意的实数x、y，有，已知，且当时。（1）求证：；（2）试判断在上的单调性，并证明。分析：我们知道，对数函数满足：①；②。分析本题条件，可判定该题是以函数为模型命题的。证明：（1）令，则解得：令，则解得：（2）设，则，于是因为所以所以，即函数在上是增函数。五.以三角函数为模型例5.定义在R上的函数对任意实数a、b都有成立，且。（1）求的值；（2）试判断的奇偶性；（3）若存在常数使，试问是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：由三角函数的和差公式可知，观察题设条件，我们可判断本题是以余弦函数为模型设计的问题。解：（1）令则所以又因为，所以（2）令，则由可得所以是R上的偶函数。（3）令，则因为所以所以所以所以是以2c为周期的周期函数。例6.已知函数的定义域关于原点对称，且满足：（1）（2）存在正常数a，使求证：（1）是奇函数；（2）是周期函数，并且有一个周期为。分析：根据三角函数公式可判断本题应是以余弦函数为模型命制的。证明：（1）设，则所以函数是奇函数。（2）令，则即解得：所以所以因此，函数是周期函数，并且有一个周期为4a。
