9.2正弦定理与余弦定理的应用第九章解三角形重点：掌握解测量问题的一般方法.难点：根据实际问题建立数学模型.1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语.2.会建立实际问题的三角形模型，并能运用正弦定理或余弦定理解决有关距离、高度、角度等实际问题.学习目标知识梳理一、与测量有关的角的术语1.方位角与方向角（1）从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角，如图Z-2-1，目标A的方位角为135°.（2）从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的角叫方向角.如图Z-2-2，目标A的方向角为北偏东30°，目标B的方向角为南偏东45°.图Z-2-1图Z-2-2一、与测量有关的角的术语3.坡角与坡度坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度，坡度α＝hl，如图Z-2-4.2.仰角与俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角.视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如图Z-2-1所示）.图Z-2-13图Z-2-4二、正、余弦定理在实际生活中的应用1.利用正、余弦定理求解实际问题的思路解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或多个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.2.几种常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等.3.解题时需注意的几个问题（1）要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能准确地找出（或作出）这些角；（2）要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解题.常考题型一、解三角形在实际问题中的应用1.测量距离问题例1［2019·四川乐山十校高一期中联考］某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点，如图，它们相距5（3+3）海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°、B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/时.（1）求B点到D点的距离BD；（2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间.【解题提示】（1）在△DAB中利用正弦定理，求出BD；（2）在△DCB中，利用余弦定理求出CD，根据速度求出时间.【解】（1）由题意知AB＝5（3+3）海里，∠DBA＝90°-60°＝30°，∠DAB＝90°-45°＝45°，∴∠ADB＝180°-（45°+30°）＝105°.在△DAB中，由正弦定理得sinBDDAB＝ABsinADB，∴BD＝ABsinDABsinADB＝5(33)45105sinsin＝5(33)4545604560sinsincoscossin＝53(31)312＝103（海里）.（2）在△DBC中，∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝30°+（90°-60°）＝60°，BC＝203海里，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC＝300+1200-2×103×203×12＝900，∴CD＝30（海里），则需要的时间t＝3030＝1（小时）.答：救援船到达D点需要1小时.如图，甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，行驶15min时，甲船到达M点，乙船到达N点，则两船的距离MN是（）A.7kmB.13kmC.19kmD.1033km变式训练1-1【解析】由题意知，AM＝8×1560＝2（km），BN＝12×1560＝3（km），MB＝AB-AM＝3-2＝1（km），所以由余弦定理得MN2＝MB2+BN2-2MB·BN·cos120°＝1+9-2×1×3×12＝13，所以MN＝13km.【答案】B解三角形应用题的一般步骤1.审题：弄清问题的实际背景，明确已知与未知，量与量之间的关系，画出示意图.2.建模：将实际问题抽象成解三角形问题的模型.3.解模：选择正弦定理或余弦定理求解.4.还原：将三角形问题还原为实际问题.解题归纳测量距离问题的基本模型及解法1.距离问题的解题思路：在航海、航空和日常生活中，少不了比较距离的远近或距离大小的测量等问题，这些问题的解决，首先是要利用特定工具测出所构造三角形的有关的边和角，再利用正、余弦定理解三角形求相应的距离来实现.解题归纳模型1：测量一条河两侧两点之间的距离，设A（可达），B（不可达）是地面上两点，测量者在A点的附近选定一点C，测出AC的距离为am，∠A＝α，∠C＝β.求A，B两点间的距离.在△ABC中，由...
