第二节导数在研究函数性质中的应用重点难点重点：1.用导数判定函数单调性的方法2．函数极值的概念及求法、函数的最值难点：导函数的图象与函数单调性的关系知识归纳1．函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；如果f′(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数．><(2)①如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)等于常数．②对于可导函数f(x)来说，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)＜0是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要条件，如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)＞0.2．函数的极值函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极值，称x0为函数f(x)的一个极值点．极大值与极小值统称为极值．小小3．函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]内可导的函数f(x)必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值．误区警示1．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)利用导数值的符号来求函数的单调区间，必须在函数的定义域内．．．．解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意函数的不连续点或不可导点.(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0，且y＝f(x)在(a，b)内导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数．3．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论．4．极值与最值的区别和联系(1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性.(2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点．．．．．．不一定是极值点．．．．．．．．．(4)极值是一个局部．．概念，极大值不一定．．．比极小值大．解题技巧1．利用导数判断函数单调性的一般步骤①求导数f′(x)；②在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；③根据②的结果确定函数f(x)的单调区间．2．判断极值的方法：当函数f(x)在点x0处可导且f′(x0)＝0.①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)为极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求极值与最值的步骤：第1步求导数f′(x)；第2步求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．第4步将f(x)的各极值及f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．注：据新课标的要求，有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，就可以知道这一点就是最大(小)值点．4．求函数的极值、最值时，要严格按解题步骤规范条理的写出解答过程，养成列表的习惯，含参数时注意分类讨论，已知单调性求参数的值域或取值范围时，要注意其中隐含f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．还要注意f(x)在区间A上单调增(或减)与f(x)的单调增(或减)区间是A的区别．5．构造法在利用导数研究函数的性质，证明不等式等解题过程中，常常要构造函数，构造方程等来促成问题的解决．[例]证明不等式lnx>2x－1x＋1，其中x>1.解析：设f(x)＝lnx－2x－1x＋1(x>1)．则f′(x)＝1x－4x＋12＝x－12xx＋12， x>1，∴f′(x)>0.∴f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数．又 f(1)＝0，当x>1时，f(x)>f(1)＝0，即lnx－2x－1x＋1>0.∴lnx>2x－1x＋1.[例1]函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A．(－π，－π2)...
