进入学案学案44直线和平面垂直直线和平面垂直考点一考点二考点三返回目录1.直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.任意一条两条相交3.直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.4.平面的垂线、斜线、射影自平面外一点P向平面α引垂线，垂足P′叫做点P在平面α内的.如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点叫做斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段.返回目录平行射影5.三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线的射影垂直.返回目录垂直垂直【例1】直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°,E为BB1的中点，∠A1DE=90°,求证：CD⊥平面A1ABB1.【分析】因为△ABC为等腰直角三角形，要证CD⊥面A1ABB1，则只需证明D为AB的中点.返回目录考点一线面垂直的判定【证明】 AC=BC=2,ACB=90°,∠∴AB=2.设AD=x，则BD=2-x,∴A1D2=4+x,DE2=1+(2-x)2,A1E2=(2)2+1, ∠A1DE=90°,A∴1D2+DE2=A1E2,∴x=2,D∴为AB中点，∴CDAB.⊥又AA1CD⊥且AA1∩AB=A,∴CD⊥面ABB1A1.1返回目录2222返回目录【评析】欲证线面垂直，一般是先证线线垂直，而线线垂直一般来源于线面垂直、面面垂直、三垂线定理或逆定理及几何体本身的特点，如等腰三角形底边的中线，直棱柱等.如图9-4-2所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E∈CC1,B1EBC⊥1,AB=AD,求证：AC1⊥面B1ED1.证明:在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥面BCC1B1，∴BC1是AC1在面BB1C1C上的射影.又B1EBC⊥1，∴B1EAC⊥1.又 AB=AD，∴B1D1A⊥1C1，∴B1D1AC⊥1，∴AC1⊥面B1ED1.返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊【例2】如图所示，ABCD为长方形，SA垂直ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G.求证：AESB,AGSD.⊥⊥【证明】 SA⊥平面ABCD，∴SABC.⊥又ABBC,BC⊥∴⊥平面SAB.又AE平面SAB，∴BCAE.⊥ SC⊥平面AEFG，∴SCAE.⊥∴AE⊥平面SBC，∴AESB.⊥同理AGSD.⊥返回目录考点二线面垂直的性质【分析】欲证线线垂直，可证线面垂直.【评析】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起到至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.返回目录如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：ADPB;⊥（3）求二面角A—BC—P的大小；（4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.返回目录＊对应演练＊＊对应演练＊（1）证明： 在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，∴BGAD.⊥又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面PAD.（2）证明：连结PG.因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PGAD.⊥由（1）知BGAD,PG∩BG=G,PG⊥平面PGB，BG平面PGB，∴AD⊥平面PGB. PB平面PGB，∴ADPB.⊥返回目录（3）由（2）得AD⊥平面PGB. 在菱形ABCD中，ADBC,BC∥∴⊥平面PGB.而PB平面PGB，BG平面PGB，∴BCPB,BCBG,⊥⊥∴∠PBG为二面角A—BC—P的平面角. 在△PAD中，PG=a,在菱形ABCD中，BG=a,∴在RtPGB△中，∠PBG=45°,∴二面角A—BC—P为45°.返回目录2323（4）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连结DE，EF，DF，则由平面几何知识知，在△PBC中，FEPB∥，在菱形ABCD中，GBDE,∥而FE平面DEF，DE平面DEF，FE∩DE=E,∴平面DEF∥平面PGB.由（1），PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.返回目录【例3】如图所示，四面体A—BCD中，若顶点A平面BDC上的射影H是△BDC的垂心，求证：顶点C在平面ADB上的射影H′也是△ABD的垂心.【分析】要证H′是△ABD的垂心，则只需证明AH′BD,DH′AB.⊥⊥由三垂线...
