§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§4.2平面向量基本定理及向量坐标表示双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理基础梳理1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，_________一对实数λ1，λ2，使a＝____________.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组________．不平行存在唯一基底λ1e1＋λ2e2(2)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对_______叫作向量a的坐标，记作a＝________，其中___叫作a在x轴上的坐标，__叫作a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)yx②设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标(x，y)就是_______的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为________，反之亦成立．(O是坐标原点)(x，y)点A2．平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘的运算向量aba＋ba－bλa坐标(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_______________________，即一个向量的坐标等于__________________________________________．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝_____⇔___________________.(x2－x1，y2－y1)该向量终点的坐标减去始点的坐标λbx1y2－x2y1＝0提示：不能，因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能不能写成x1x2＝y1y2？思考感悟1．(2009年高考广东卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C. a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．课前热身2．(2009年高考重庆卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2答案：D答案：C3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x等于()A．1B．0C．－1D．2答案：－2或114．O是坐标原点，OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k＝________.5．(原创题)在△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，若点D满足BD→＝12DC→，则a，b表示AD→的结果为________．答案：23a＋13b考点探究•挑战高考考点突破考点突破平面向量基本定理及其应用利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．(2011年宿州质检)如图所示，P点是其阴影部分任意一点(其中OM∥AB)，且OP→＝xOA→＋yOB→，则x，y应满足的条件是________．例例11【思路点拨】先由平面向量基本定理设出OP→＝mOB→＋nAB→，再由向量共线的条件列方程求x，y应满足的条件．【解析】设OP→＝mOB→＋nAB→，由图可知，OP→＝OB′→＋OM′→，∴OB′→＝mOB→，OM′→＝nAB→，∴0≤m≤1且n≥0.又OP→＝mOB→＋n(OB→－OA→)＝(m＋n)OB→－nOA→＝xOA→＋yOB→，而OA→与OB→不共线，∴x＝－n≤0，y＝m＋n，即m＝x＋y.故应填：x≤0且0≤x＋y≤1.【答案】x≤0且0≤x＋y≤1【规律小结】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法的三角形法则、平行四边形法则、减法的三角形法则、三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解．变式训练1在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE→＝pOA→，OF→＝qOB→.求证：17p＋37q＝1.证明：设OM→＝ma＋nb，则AM...
