等腰梯形•（2）特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。（3）梯形的判定方法可依据梯形的定义来判定一个四边形是否为梯形。2.等腰梯形的性质如图所示，等腰梯形ABCD（1）等腰梯形的两腰相等、两底平行：AB＝CD，AD∥BC；ABCD•（2）等腰梯形在同一底上的两底相等：∠ABC＝∠BCD，∠BAD＝∠CDA；•（3）等腰梯形的对角线相等AC＝BD；•（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴，即MN。ABCDMN•例1.下列语句中错误的是（）A.只有一组对边平行的四边形是梯形B.有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形C.有一组对边平行的四边形是梯形D.一组对边平行且不相等的四边形是梯形•思路点拨：解答本题的关键是要紧扣梯形的定义，先排除B，然后排除A，考虑D，一组对边平行且不相等的四边形一定不是平行四边形，从而可知它的另一组对边不平行，因此D是正确的。解：选C误点剖析：应仔细体会A和C的区别。评注：正确理解每个命题的意义是解题的必要条件。•例2.求证：等腰梯形上底的中点与下底两端点距离相等。•已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，M是AD的中点。求证:MB=MC•思路点拨：要证BM＝CM，只需证•ABM≌△DCM。ABCDM•解： 在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，•∠A＝∠D，•又 M是AD的中点，•∴AM＝DM•∴△ABM≌△DCM•∴BM＝CMABCDM•误点剖析：对等腰梯形的定义理解不深刻，只认为是判定用，因而得不出AB＝CD，故本题的证明难于着手。•评注：等腰梯形是轴对称图形，本题也可利用轴对称的性质来解。•本题中题设AB＝DC与结论BM＝CM交换，其他条件不变，命题仍成立。•例3.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC＝4，BD＝3.4，求梯形ABCD的面积•。•思路点拨:求梯形的面积常用公式•S＝来计算，而此题上•底、下底、高都是未知数，故不能用此公式，但S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，利用这一等量关系可求。高上底＋下底）(21ABCDO•解： AC⊥BD•∴S△ABD＝AO·BDS△BCD＝CO·BD•S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD•＝AO·BD＋CO·BD•＝（AO＋CO）·BD•即S梯形ABCD＝AC·BD＝×4×3.4＝6.8•答：梯形的面积为6.8。21212121212121ABCDO•误点剖析要注意灵活应用梯形面积的求法。•评注（1）当梯形（或任意四边形）对角线互相垂直时，它们的面积等于对角线乘积的一半。•（2）本题也可以利用等量关系•S梯形ABCD＝S△ABC＋S△ADC来解答。ABCDO•（3）本题还可以过D点作DE∥AC交BC的延长线于E，如图所示，则S△ABD=S△CDE，从而•S梯形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝S△BCD＋S△CDE＝•S△BDE＝BD·DE＝BD·AC＝6.82121ABCDOE•方法指引解有关梯形问题的途径可化归、分割、拼接成三角形.平行四边形的问题来解决，常用的方法如下：1.平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线、把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，如图所示。ABDCE•例4.已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长。•思路点拨：通过平移一腰把等腰梯形化为平行四边形和等边三角形式•解如图，过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形。•∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE•∴EC＝49－15＝34cm• AB=CD•∴CD=DEABDCE•又 ∠C＝60°•∴△CDE是等边三角形•∴CD＝EC＝34cm•误点剖析本例获解的关键是辅助线的添加，因此，若不能平移一腰，得到等边三角形CDE，则问题的获解将变得困难得多。评注：在等腰梯形中通常通过作腰的平行线，构造平行四边形和等腰三角形，利用平行四边形，把分散的条件集中到一个三角形中去。ABDCE•例5.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝5，BC＝，∠C＝45°，∠D＝60°，求DC的长及梯形的面积。•思路点拨：作AE⊥DC，BF⊥CD，垂足为E、F，这样可构造两个直角三角形。•解：作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，则四边形ABFE是矩形•∴EF＝AB＝5，AE＝BF，•在Rt△BCF中， ∠C＝45°•∴CF＝BF•设CF＝BF＝x•由勾股定理，得x2+x2=()22323ABDCEF•∴x＝3，BF＝CF＝3，•∴AE＝3，•在Rt△ADE中， ∠D＝60°•∴∠DAE＝30°∴DE＝AD•设DE＝y,则AD＝2y•(2y)2-y2=9∴...
