导数的应用举例 1 解 : (1) 由已知 f(x)=3x2-x-2, (2) 命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m. 单调递增区间是 (-∞, - ) 和 (1, +∞). 23 设 f(x)=x3- x2-2x+5. (1) 求函数 f(x) 的单调递增、递减区间 ; (2) 当 x[-1, 2] 时 , f(x)
0 得 x<- 或 x>1. 23∴y=f(x) 的单调递减区间是 (- , 1); 2323令 f(x)=0 得 x=- 或 1. 12f(1)=3 , f(2)=7, f(-1)=5 , 12 f(- )=5 , 232722∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7. ∴70, f(x) 在 (-1, +∞) 上为增函数 ; 设 f(x)= x+1 -aln(x+1), aR, 且 a0, 取 e=2.7. (1) 求 f(x) 的单调区间 ; (2) 比较 x+1 与 ln(x+1) 的大小 , 并加以证明 .2(x+1) x+1 -2a = . 又 f(x)= - 2 x+11 x+1a当 a>0 时 , 令 f(x)<0 得 -10 得 x>4a2-1. ∴ 当 a>0 时 , f(x) 在 (-1, 4a2-1) 上为减函数 , 在 (4a2-1, +∞) 上为增函数 . 综上所述 , 当 a<0 时 , f(x) 的单调递增区间为 (-1, +∞); 当 a>0 时 , f(x) 的单调递减区间为 (-1, 4a2-1), 单调递增区间为 (4a2-1, +∞). 导数的应用举例 2 由 (1) 知 g(x) 在 (-1, 3) 上为减函数 , 设 f(x)= x+1 -aln(x+1), aR, 且 a0, 取 e=2.7. (1) 求 f(x) 的单调区间 ; (2) 比较 x+1 与 ln(x+1) 的大小 , 并加以证明 .解 : (2) x+1 >ln(x+1), 证明如下 : =2-ln4>0. ∴g(x)≥g(3)>0. 即 x+1 >ln(x+1). 设 g(x)= x+1 -ln(x+1), 又 g(3)= 3+1 -ln(3+1) 在 (3, +∞) 上为增函数 , 导数的应用举例 3 设函数 f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b, 0
