公式法 你能将多项式 x2 － 16 与多项式 m 2 － 4n2 分解因式吗 ? 这两个多项式有什么共同的特点吗 ?(a+b)(a － b) = a2 －b2a2 － b2 =(a+b)(a －b) 两个数的平方差 , 等于这两个数的和与这两个数的差的积 .公式法 (1)例 3 分解因式 :(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2. 分析：在 (1) 中， 4x2 = (2x)2 ， 9=32 ， 4x2－ 9 = (2x )2 –3 2 ，即可用平方差公式分解因式 . 在 (2) 中，把 (x+p) 和 (x+q) 各看成一个整体，设 x+p=m ， x+q=n ，则原式化为 m2 － n2.(1)4x2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x – 3).(2)(x+p)2 – (x+q) 2= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]=(2x+p+q)(p–q). 例 4 分解因式 : (1)x4—y4; (2) a3b —ab. 分析 :(1)x4 － y4 写成 (x2)2 － (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了 . (2)a3b －ab 有公因式 ab ，应先提出公因式 , 再进一步分解 .解 :(1) x4 － y4 = (x2+y2)(x2 － y2) = (x2+y2)(x+y)(x － y).(2) a3b － ab=ab(a2 － 1)=ab(a+1)(a － 1).分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止 . 练习 1. 下列多项式能否用平方差公式来分解因式 ? 为什么 ? (1) x2+y2 ; (2) x2 － y2; (3) － x2+y2; (4) － x2 －y2. 2. 分解因式 :(1)a2 － b2; (2)9a2 － 4b2;(3) x2y － 4y ; (4) － a4 +16.251 思维延伸 1. 观察下列各式 : 32 － 12=8=8×1; 52 － 32=16=8×2; 72 － 52=24=8×3; …… 把你发现的规律用含 n 的等式表示出来 . 2. 对于任意的自然数 n ， (n+7)2 － (n － 5)2能被 24 整除吗 ? 为什么 ? 思考： 你能将多项式 a2+2ab+b2 与 a2 － 2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？(a+b)2=a2+2ab+b2,(a － b)2=a2 － 2ab+b2. 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方 .a2+2ab+b2=(a+b)2a2 －2ab+b2=(a －b)2公式法 (2)· 例 5 分解因式： (1) 16x2+24x+9 ； (2) –x2+4xy–4y2. 分析：在 (1) 中， 16x2=(4x)2 ， 9=32 ，24x=2·4x·3 ，所以 16x2+24x+9 是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32a22 a b b2+·解： (1)16x2+24x+9 = (4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.+解： (2) － x2+4xy － 4y2 = － (x2 － 4xy+4y2) = － [x2 － 2·x·2y+(2y)2] = － (x － 2y)2 . 例 5 分解因式： (1) 16x2+24x+9 ； (2) –x2+4xy–4y2. 例 6 分解因式 : (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2 － 12(a+b)+36. 分析：在（ 1 ）中有公因式 3a ，应先提出公因式，再进一步分解 . 解： (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 .(2)(a+b)2 － 12(a+b)+36=(a+b)2 － 2·(a+b)·6+62=(a+b － 6)2.将 a+b 看作一个整体，设 a+b=m,则原式化为完全平方式 m2 － 12m+36. 练习1. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2 － 4a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b － 1 ; (4)a2+ab+b2.2. 分解因式： (1) x2+12x+36; (2) － 2xy － x2 － y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x2 － 4x+1; (5) ax2+2a2x+a3; (6) － 3x2+6xy － 3y2.
