全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614 1 / 11 2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） (x y) ln(1 y ) 1．计算 x dxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x y 1 与两 D 1 x y 坐标轴所围成三角形区域 . 2．设 f ( x) 是连续函数，且满足 f (x) 3x2 2 f ( x)dx 2 , 则 f ( x) ____________. 0 3．曲面 z x2 y 2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是 __________. 2 4．设函数 y y(x) 由方程 xe f ( y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则 d2 y dx2 ________________. 二、（ 5 分）求极限 lim (ex e2 x enx e ) x ，其中 n 是给定的正整数 . x 0 n 全 国 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛 真 题 及 答 案 (非 数 学 类 )无 答 案 _9614--第 1页全 国 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛 真 题 及 答 案 (非 数 学 类 )无 答 案 _9614--第 1页全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614 2 / 11 1 f ( xt)dt ，且 lim f (x) A ， A 为常数， 求 g ( x) 三、（ 15 分）设函数 f (x) 连续， g( x) 0 x 0 x 并讨论 g ( x) 在 x 0 处的连续性 . 四、（ 15 分）已知平面区域 D {( x, y) | 0 x , 0 y } ， L 为 D 的正向边界， 试证： （ 1） xe sin ydy ye sin xdx xe sin y dy ye sin xdx ； L L （ 2） xesin ydy ye sin ydx 5 2 . L 2 五、（ 10 分）已知 y1 xe x e2x ， y2 xe x e x ， y3 xe x e2x e x 是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 全 国 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛 真 题 及 答 案 (非 数 学 类 )无 答 案 _9614--第 2页全 国 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛 真 题 及 答 案 (非 数 学 类 )无 答 案 _9614--第 2页全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614 3 / 11 六、（ 10 分）设抛物线 y ax 2 bx 2 ln c 过原点 . 当 0 x 1 时 , y 0 , 又已知该抛物线 与 x 轴及直线 x 1 所围图形的面积为 1 . 试确定 a, b, c , 使此图形绕 x 轴旋转一周...
