初二数学培优之直角三角形 阅读与思考 直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质： 角的关系：两锐角互余； 边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和； 边角关系：30 所对的直角边等于斜边的一半. 这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面. 在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法. 熟悉以下基本图形基本结论： 30° 例题与求解 【例l】（1）直角△ABC 三边的长分别是x，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________. （2）如图，已知Rt△ABC 的两直角边AC＝5，BC＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD＝_____________. DACB （太原市竞赛试题） 解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD 中求出 CD 吗？从角平分线性质入手. 【例2 】如图所示的方格纸中，点A，B，C，都在方格线的交点，则∠ACB＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165° CBA （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础. 【例3 】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB 的度数. APBC （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，综合运用条件PC＝2PB 及∠APC＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键. 【例4 】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以 AB，AC 为边在△ABC 的外侧作等边△ABE 和等边△ACD，DE 与 AB 交于 F，求证：EF＝FD. FDEBAC （上海市竞赛试题） 解题思路：已知FD 为Rt△FAD 的斜边，因此需作辅助线，构造以 EF 为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明. 【例5 】如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求证：222BDABBC CDBA （北京市竞赛试题） 解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中. 【例6 】斯特瓦尔特定理： 如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a，b，c 为△ABC 三边长，则222b BDc DCADBD DCa.请证明结论成立. ABCD 解题思路：本题充分...
