数列极限的解法(15种)

0.引言 在数学分析的学习过程中, 极限的思想和方法起着基础性的作用，极限的基本思 想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，而数列极限又是极限的基础.涉及到数列极限的问题有很多，包括数列极限的求法、给定数列极限存在性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型，数列极限反应的是数列变化的趋势，其证明和求解也是数学分析题中的重点，主要原因是其证法与求法没有固定的程序可循，方法多样，技巧性强，涉及知识面较广，因此在数学刊物上常可看到这类文章，但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解，很少系统地探索数列极限证法和求法的基本技巧和方法. 随着社会的快速发展及数学本身的发展,迫切地需要对这些方法进行归纳. 当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献[1]-[10],但是方法的应用举例较少,不全面. 在高等数学竞赛及研究生入学考试中, 数列极限求解方法是经常出现的一种题型. 这些都说明: 数列极限求解方法是一个重要的研究课题. 本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同 时 举例进行说明. 本文归纳了十 五 种方法. 1 .定义 法 N 定义 ： 设  na 为数列，a为定数，若 对任 给的正 数 ，总 存在正 数N，使得 当nN时 ，有naa，则 称 数列 na 收 敛 于 a.记 作： limnnaa.否 则 称  na为发散 数列. 例1.求证1lim1,nna其中0a. 证： 当1a 时 ，结 论 显 然 成 立 . 当1a 时 ，记11na  ，则0 ，由1111(1)nnann   得111naan ，任 给0 ，则 当 1anN时 ，就 有11na ，即11na即1lim1,nna 当 1111101,1,lim1,lim1limnnnnnnabbbaab 时，令则由上易知 综上，1lim1,nna0a  例 2.求7lim!nnn 解：7777 77 7 7777 77 1!1 27 8 917!6!nnnnnn 77777 17 177 100,,0!6!6!!6!nnNnNnnnn 则当时，有< 7lim0!nnn 2 .利用柯西收敛准则 柯 西 收 敛 准 则 ：数 列  na收 敛 的 充 要 条 件 是 ：0, 正 整 数 N ，使 得 当,n mN时 ， 有nmaa. 例 3.证 明 ： 数 列1sin(1,2,3,)2nnkkkxn...