数列通项公式的方法总结

精品文档---下载后可任意编辑（1）观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）1 12 ,2 45 ,3 910 ,41617 ,…（3）1, 23 , 12 , 25 ,…（4）12 ,− 23 , 34 ,− 45 ,…解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：an=10n−1 （2）an=n+ n2n2+1 ;（3）an= 2n+1 ; （4）an=(−1)n+1⋅ nn+1 .点评：关键是找出各项与项数 n 的关系。 （2） 定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例 2： 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等比数列，若函数 f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1) a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又 b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，∴b3b1=(q−2)2q2=q2，由 q∈R，且 q≠1，得 q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1（3） 公式法：已知（即）求，用作差法：。例:3：(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列{}的前 n 项和为满足＞1 且 6=n∈ 求{}的通项公式。解：由=解得=1 或=2，由已知＞1，因此=2 又由=得=0 ＞0 ∴从而{}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.小扩展：已知求，用作商法：（3）迭加法：若求：。例 4：已知数列{an}满足a1=12 ，an+1=an+1n2+n ，求。解：由条件知：an+1−an=1n2+n=1n(n+1)=1n− 1n+1分别令n=1,2,3,⋅¿⋅¿⋅¿,(n−1)，代入上式得(n−1)个等式累加之，即(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+¿⋅¿⋅¿⋅+( an−an−1)=(1−12 )+( 12−13 )+( 13− 14 )+¿⋅¿⋅¿⋅+( 1n−1−1n )所以an−a1=1−1n a1=12 ，∴an=12+1−1n=32−1n（4）迭乘法：已知求，用累乘法：例 5．设是首项为 1 的正项数列，且，求它的通项公式. 解析：由题意∴ ，∴， ∴，∴，又， ∴当时，， 当时，符合上式精品文档---下载后可任意编辑 ∴.（5）倒数法：形如的递推数列都可以用倒数法求通项例 6：已知数列{}，=，，求=？解：把原式变形得 两边同除以得∴是首项为，d=的等差数列故∴。（6）构造等比数列法: ）（1）递推公式为an+1=pan+q （其中 p，q 均为常数，( ...