第25题磨光变换VIP专享

1 第25 题 磨光变换 画一个圆，沿圆周均匀放上8 个围棋子，放法随机，然后按以下规则调整。 (1)若原来相邻两棋子颜色相同，则在它们所在孤的中点处放上一个黑子。 (2)若原来相邻两棋子颜色相异，则在它们所在弧的中点处放上一个白子。 (3)上述操作完毕后，取走原先放着的 8 个棋子。 调整后得到沿圆周均匀分布的新的 8 个棋子。 问：能否经过有限次调整后，使 8 个棋子全部都成黑子？若行，则至多要调整几次。 分析：先特例探索 图 25-1 是经过 8 次调整后使 8 个棋子全部都变成黑子的特例。 经过多次尝试后发现：每次尝试都能经过不多于 8 次调整后，使 8个棋子全部变成黑子。 由此产生了如下猜测： 对任一种放法都可经过不多于 8 次调整后，使 8 个棋子全部变成黑子。 如何判别上述猜测的真伪呢？ 2 因为不同分布是有限的，至多不超过28即256 种，所以我们可以采用穷举法，列举所有可能放法，一一验证。这种方法可行，但工作量很大。 是否还有更简便的方法，利用一些数学工具，将这个问题转化为一个数学问题呢？ 倘若能建立起黑、白子与特定的2 个数字间的对应，使调整后的结果与对应数字的相应运算结果相对应。那么黑白子的调整可以转化为对应数字的运算。从而可以通过数字运算来解决原有问题。 经过联想与对比发现只要将黑子与1 对应，白子与-1 相对应，即黑子—→1；白子—→-1 那么黑白子的变换就相当于对±/进行乘法运算。 正如下表所示： 以上对应就将原问题转化成一个数学问题。 解：先建立集合｛黑子，白子｝与集合｛-1，1｝间对应 黑子—→1 白子—→-1 那么黑白子的调整可转化成对应数字的乘法运算。 设第一次均匀放置在第 i 位上的棋子对应数为xi(i=1，2，3，4，5，6，7，8)，则 xi∈｛-1，1｝。 3 由上表可知：不管初始状态如何，至多经过8 次调整后能使8 子变成全黑。 回顾：从上表中还可以得到以下结论： (1)经过七次调整后，必成同色； 4 (2)经过六次调整后，必成同色或黑白相间。 此外能利用上表构造经过3 次至6 次调整变成全黑状态的实例。 下面构造经六次调整成全黑状态的实例。 要达到此目的，只要使第四次调整态为黑白相间状态。为此可取x1·x5=x3·x7=1，且 x2·x6=x4·x8=-1；于是可取x2=x4=-1，x1=x3=x5=x6=x7=x8=1。 即当原始状态呈图 25-2 时，一定可以经过六次调整后，变成全黑状态。 上述“调整”用数学术语来说就称作变换。 若变换具有...