1 第25 题 磨光变换 画一个圆,沿圆周均匀放上8 个围棋子,放法随机,然后按以下规则调整。 (1)若原来相邻两棋子颜色相同,则在它们所在孤的中点处放上一个黑子。 (2)若原来相邻两棋子颜色相异,则在它们所在弧的中点处放上一个白子。 (3)上述操作完毕后,取走原先放着的 8 个棋子。 调整后得到沿圆周均匀分布的新的 8 个棋子。 问:能否经过有限次调整后,使 8 个棋子全部都成黑子?若行,则至多要调整几次。 分析:先特例探索 图 25-1 是经过 8 次调整后使 8 个棋子全部都变成黑子的特例。 经过多次尝试后发现:每次尝试都能经过不多于 8 次调整后,使 8个棋子全部变成黑子。 由此产生了如下猜测: 对任一种放法都可经过不多于 8 次调整后,使 8 个棋子全部变成黑子。 如何判别上述猜测的真伪呢? 2 因为不同分布是有限的,至多不超过28即256 种,所以我们可以采用穷举法,列举所有可能放法,一一验证。这种方法可行,但工作量很大。 是否还有更简便的方法,利用一些数学工具,将这个问题转化为一个数学问题呢? 倘若能建立起黑、白子与特定的2 个数字间的对应,使调整后的结果与对应数字的相应运算结果相对应。那么黑白子的调整可以转化为对应数字的运算。从而可以通过数字运算来解决原有问题。 经过联想与对比发现只要将黑子与1 对应,白子与-1 相对应,即黑子—→1;白子—→-1 那么黑白子的变换就相当于对±/进行乘法运算。 正如下表所示: 以上对应就将原问题转化成一个数学问题。 解:先建立集合{黑子,白子}与集合{-1,1}间对应 黑子—→1 白子—→-1 那么黑白子的调整可转化成对应数字的乘法运算。 设第一次均匀放置在第 i 位上的棋子对应数为xi(i=1,2,3,4,5,6,7,8),则 xi∈{-1,1}。 3 由上表可知:不管初始状态如何,至多经过8 次调整后能使8 子变成全黑。 回顾:从上表中还可以得到以下结论: (1)经过七次调整后,必成同色; 4 (2)经过六次调整后,必成同色或黑白相间。 此外能利用上表构造经过3 次至6 次调整变成全黑状态的实例。 下面构造经六次调整成全黑状态的实例。 要达到此目的,只要使第四次调整态为黑白相间状态。为此可取x1·x5=x3·x7=1,且 x2·x6=x4·x8=-1;于是可取x2=x4=-1,x1=x3=x5=x6=x7=x8=1。 即当原始状态呈图 25-2 时,一定可以经过六次调整后,变成全黑状态。 上述“调整”用数学术语来说就称作变换。 若变换具有...