考点一抛物线的定义及方程1．(2013·新课标全国Ⅱ，11)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x解析设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由y＝2px0，得16＝2p，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.答案C2．(2012·安徽，9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.B.C.D．2解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率k＝＝2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即为2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离为d＝.由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.答案C3．(2011·陕西，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x解析由抛物线的准线方程为x＝－2知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，＝2⇒p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x，故选B.答案B4．(2015·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．解析由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.答案25．(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________．解析由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.答案1＋6．(2014·大纲全国，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．解(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋＝.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.7．(2013·广东，20)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．解(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy(c>0)，由＝，结合c>0，解得c＝1.∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的方程为x2＝4y，即y＝x2，求导得y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，∴切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1，即x1x－2y－2y1＝0.同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0. 切线PA，PB均过点P(x0，y0)，∴x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，∴和为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．∴直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，∴|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，联立方程消...
