第2讲数系的扩充与复数的引入板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.B.C.D．2答案C解析由(1＋i)z＝2i，得z＝＝1＋i，∴|z|＝.故选C.∵2i＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝.故选C.2．[2018·湖南模拟]已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案D解析由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i.3．[2018·江西模拟]已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为()A.＋iB.＋iC.－iD.－i答案A解析z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝＋i.故选A.4．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝()A．1＋iB.＋iC．1＋iD．1＋i答案B解析因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i.故选B.5．[2018·天津模拟]已知复数z满足(i－1)(z－i3)＝2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A．i－1B．1＋2iC．1－iD．1－2i答案B解析依题意可得z＝＋i3＝－i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共轭复数为1＋2i，故选B.6．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝()A．1B．0C．1＋iD．1－i答案D解析z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有＝＝＝1－i，选D.7．[2018·郴州模拟]设z＝1－i(i是虚数单位)，若复数＋z2在复平面内对应的向量为OZ，则向量OZ的模是()A．1B.C.D．2答案B解析z＝1－i(i是虚数单位)，复数＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝1－i.向量OZ的模：＝.故选B.8．[2018·温州模拟]满足＝i(i为虚数单位)的复数是________．答案－解析由已知得z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i，即z＝＝＝＝－.9．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.答案解析∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.10．[2017·浙江高考]已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.答案52解析(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.[B级知能提升]1．[2018·成都模拟]已知复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|＝()A.B．5C．2D．2答案A解析复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数为z＝1＋2i，则|z|＝＝.故选A.2．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；p4：若复数z∈R，则∈R.其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案B解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.3．[2018·厦门模拟]已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．答案解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.4．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解(1)因为z＝bi(b∈R)，所以＝＝＝＝＋i.又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．5．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi.又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋是实数，根据题意有因为b≠0，所以解得或所以z＝－1－2i或z＝－2－i.
