高考达标检测（四十一）——圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为()A．1B.C.D．2解析：选D由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)，由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A(2,2)，故直线l的斜率为2.2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为()A.B．0C.或0D．8或0解析：选C由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，综上可知k＝0或.3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为()A．2B.C.D.解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由两式相减得：＝，则＝＝.由直线AB的斜率k＝＝1，∴＝1，则＝，∴双曲线的离心率e＝＝＝.4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()A.B.C.D．2解析：选D如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由MA·MB＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝2.5．已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为()A．3B．4C．5D．6解析：选C如图，设A(－a,0)，B(a,0)，M(0，2m)，N(0，－3m)．则直线AM的方程为y＝x＋2m，直线BN的方程为y＝x－3m. 直线AM，BN的交点D(c，y0)，∴＋2m＝－3m，则＝5，∴双曲线的离心率为5.6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.C.D.解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，故当t＝0时，|AB|max＝.二、填空题7．焦点是F(0,5)，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为__________．解析：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为，且＝，＝－.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得＝－·＝－2×＝3，所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝18．经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．解析： 经过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝tan60°＝，即b＝a，∴c＝＝2a，故e＝＝2.答案：29．抛物线x2＝4y与直线x－2y＋2＝0交于A，B两点，且A，B关于直线y＝－2x＋m对称，则m的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2),联立消去y，得x2－2x－4＝0.则x1＋x2＝2，＝1.∴y1＋y2＝(x1＋x2)＋2＝3，＝. A，B关于直线y＝－2x＋m对称，∴AB的中点在直线y＝－2x＋m上，即＝－2×1＋m，解得m＝.答案：三、解答题10．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F2(c,0)垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点且|PQ|＝，又过左焦点F1(－c,0)作直线l交椭圆于两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．解：(1)由题意可知|PQ|＝＝.①又椭圆的离心率e＝＝＝，则＝，②由①②解得a2＝3，b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)可知左焦点F1(－1,0),依题意，直线l不垂直x轴，当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，则直线AB的方程可设为y＝－x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(2k2＋3)x2－6km...
