第 3 讲 圆锥曲线的综合问题[考情考向分析] 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例 1 已知 N 为圆 C1：(x＋2)2＋y2＝24 上一动点，圆心 C1关于 y 轴的对称点为 C2，点 M，P分别是线段 C1N，C2N 上的点，且MP·C2N＝0，C2N＝2C2P.(1)求点 M 的轨迹方程；(2)直线 l：y＝kx＋m 与点 M 的轨迹 Γ 只有一个公共点 P，且点 P 在第二象限，过坐标原点 O且与 l 垂直的直线 l′与圆 x2＋y2＝8 相交于 A，B 两点，求△PAB 面积的取值范围．解 (1)连接 MC2，因为C2N＝2C2P，所以 P 为 C2N 的中点，因为MP·C2N＝0，所以MP⊥C2N，所以点 M 在 C2N 的垂直平分线上，所以|MN|＝|MC2|，因为|MN|＋|MC1|＝|MC2|＋|MC1|＝2>4，所以点 M 在以 C1，C2为焦点的椭圆上，因为 a＝，c＝2，所以 b2＝2，所以点 M 的轨迹方程为＋＝1.(2)由得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，因为直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 Γ 相切于点 P，所以 Δ＝(6km)2－4(3k2＋1) (3m2－6)＝12(6k2＋2－m2)＝0，即 m2＝6k2＋2，解得 x＝，y＝，即点 P 的坐标为，因为点 P 在第二象限，所以 k>0，m>0，所以 m＝，所以点 P 的坐标为，设直线 l′与 l 垂直交于点 Q，则|PQ|是点 P 到直线 l′的距离，且直线 l′的方程为 y＝－x，所以|PQ|＝＝＝≤＝＝－，当且仅当 3k2＝，即 k2＝时，|PQ|有最大值－，所以 S△PAB＝×4×|PQ|≤4－4，即△PAB 面积的取值范围为.思维升华 解决范围问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练 1 (2018·衡水金卷信息卷)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的一条切线方程为 y＝2x＋2，且离心率为.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，与 y 轴交于点 M，且AM＝3MB，求实数 m 的取...
