第3讲平面向量「考情研析」1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.核心知识回顾1.平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝□|a||b|·cosθ.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝□x1x2＋y1y2.2．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔□a＝λb(b≠0)⇔□x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔□a·b＝0⇔□x1x2＋y1y2＝0.3．利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝□＝□.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝□.4．利用数量积求夹角若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝□＝□.5．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔□|OA|＝|OB|＝|OC|＝.(2)O为△ABC的重心⇔□OA＋OB＋OC＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔□OA·OB＝OB·OC＝OC·OA.(4)O为△ABC的内心⇔□aOA＋bOB＋cOC＝0.热点考向探究考向1平面向量的概念及运算例1(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb与2a＋b共线(其中m，n∈R且n≠0)，则＝()A．－2B．2C．－D.答案A解析因为ma－nb＝(m＋2n,2m－3n)，2a＋b＝(0,7)，ma－nb与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即＝－2.故选A.(2)(2019·云南第二次统考)已知点O(0,0)，A(－1,3)，B(2，－4)，OP＝OA＋mAB.若点P在y轴上，则实数m的值为()A.B.C.D.答案A解析由题意，可得OA＝(－1,3)，AB＝(3，－7)，所以OP＝OA＋mAB＝(3m－1,3－7m)，点P在y轴上，即3m－1＝0，m＝.故选A.(3)(2019·贵州南白中学(遵义县一中)高一联考)已知D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A.BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD．－BC＋BA答案D解析 D是△ABC的边AB的中点，∴CD＝(CA＋CB)，CA＝BA－BC，CD＝(BA－BC－BC)＝－BC＋BA.故选D.平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式，几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．(2019·四川巴中高三诊断)向量AB＝(2,3)，AC＝(4,7)，则BC＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)答案B解析BC＝AC－AB＝(2,4)．故选B.2．(2019·四川宜宾高三二诊)在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量DN＝2NB，设AB＝a，AD＝b，则MN＝()A.a－bB．－a＋bC.a＋bD.a－b答案A解析根据题意画图，如图所示，则DM＝DC＝AB＝a，DN＝DB＝(AB－AD)＝AB－AD＝a－b，∴MN＝DN－DM＝a－b－a＝a－b，故选A.3．(2019·陕西高三一模)如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若OC＝mOE＋nOF，其中m，n∈R，则m＋n的值为()A．1B.C.D.答案C解析在平行四边形中OA＝BC，OB＝AC，OC＝OA＋OB，因为E是AC的中点，所以AE＝AC＝OB，所以OE＝OA＋AE＝OA＋OB，因为BC＝3BF，所以BF＝BC＝OA，所以OF＝OB＋BF＝OB＋OA，因为OC＝mOE＋nOF，所以OC＝OA＋OB，在▱OACB中，OC＝OA＋OB，所以解得所以m＋n＝.故选C.考向2平面向量的数量积例2(1)(2019·辽宁鞍山一中三模)设a，b是夹角为60°的单位向量，则2a＋b和3a－2b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由题意，因为a，b是夹角为60°的单位向量，∴a·b＝|a||b|cos60°＝，则(2a＋b)·(3a－2b)＝6a2－2b2－a·b＝6－2－＝，|2a＋b|＝＝＝＝，|3a－2b|＝＝＝＝＝，设2a＋b和3a－2b的夹角为α，则cosα＝＝＝，即α＝60°.故选B.(2)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，则AD·AC＝()A．0B．4C．8D．－4答案B解析因为AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是BC边上的高，所以AD＝4sin30°＝2，所以AD·AC＝AD·(AB＋BC)＝AD·AB＋AD·BC＝AD·AB＝2×4×＝4.故选B.(3)(2019·安徽黄山高三二模)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为()A．1B．－C.D．－1答案D解析因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)...
