专题 01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】 角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。【方法技巧】模型 1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 【模型分析】 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型 2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取OB=OA，连接 PB。 结论：△OPB≌△OPA。【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。NMOABPPONMBA模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。 结论：△AOB 是等腰三角形。【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。模型 4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。 结论：△POQ 是等腰三角形。【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。【典例分析】【模型 1 角平分线上的点向两边作垂线】【典例 1】（2023 秋•江北区期末）如图，D 是∠EAF 平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明 CD＝DB 的理由．【变式 1-1】（2024 秋•西城区校级期中）如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA，AD＝CD，BD 平分∠ABC，PONMBAQPONM求证：∠A+∠C＝180°．【变式 1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M 是 AB 的中点，DM 平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点 M 作 CD 的垂...
