第 2 课时 半角的正弦、余弦和正切学 习 目 标核 心 素 养1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点)1.通过用二倍角公式推导出半角公式，体会逻辑推理素养．2.通过利用三角恒等变换对三角函数式化简求值，体会数学运算素养.半角公式(1)sin＝± ；(2)cos＝± ；(3)tan＝± ＝＝.思考：利用 tan α＝和倍角公式能得到 tan 与 sin α，cos α 有怎样的关系？[提示] tan ＝＝＝，tan ＝＝＝.1．若 cos α＝，且 α∈(0，π)，则 sin 的值为( )A．－ B． C． D．－[答案] B2．已知 cos α＝，α∈，则 cos 的值为( )A． B． C．－D．－[答案] B3．tan 15°等于( )A．2＋ B．2－ C．＋1D．－1B [由 tan ＝，得 tan 15°＝＝2－.]4．若 cos 22°＝a，则 sin 11°＝________，cos 11°＝________(用 a 表示)． [sin 11°＞0，cos 11°＞0，所以 sin 11°＝，cos 11°＝.]应用半角公式求值【例 1】 已知 cos α＝，α 为第四象限角，求 sin 、cos 、tan .[解] sin ＝± ＝±＝±，cos ＝± ＝±＝±，tan ＝± ＝± ＝±. α 为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin ＝，cos ＝－，tan ＝－；当为第四象限角时，sin ＝－，cos ＝，tan ＝－.在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan ，还要注意运用公式 tan ＝＝来求值.1．已知 sin θ＝，且<θ<3π，求 cos 和 tan .[解] sin θ＝，<θ<3π，∴cos θ＝－＝－.由 cos θ＝2cos2 －1得 cos2＝＝. <<π.∴cos ＝－＝－.tan ＝＝2.利用半角公式化简求值【例 2】 化简：.[思路探究] 利用半角公式将角进一步统一为，注意角的取值范围．[解] <α<2π，∴<<π，∴原式＝＝＝cos2 －sin2＝cos α.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简：(180°
