高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3.2 圆内接四边形的性质与判定学案 新人教B版选修4-1-新人教B版高二选修4-1数学学案

1．3.2 圆内接四边形的性质与判定[对应学生用书 P29][读教材·填要点]1．圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆内接四边形的判定(1)定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．(2)符号语言表述：在四边形 ABCD 中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形 ABCD 内接于圆．[小问题·大思维]1．所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆．2．如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为 180°，所以该平行四边形一定是矩形．[对应学生用书 P29]证明四点共圆[例 1] 如图，已知 AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于 B、C 两点，圆心 O 在∠PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点．(1)证明：A，P，O，M 四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM 的大小．[思路点拨] 本题考查四点共圆的判定及性质的应用问题，解答(1)可利用圆内接四边形的判定定理证明。解答问题(2)可利用四点共圆的性质求解．[精解详析] (1)证明：连接 OP，OM，因为 AP 与⊙O 相切于点 P，所以 OP⊥AP，因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中点，所以 OM⊥BC，于是∠OPA＋∠OMA＝180°.由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以A，P，O，M 四点共圆．(2)由(1)得 A，P，O，M 四点共圆，1所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得 OP⊥AP，由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.判定四点共圆的方法(1)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．1.如图，在正△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD＝BC，CE＝CA，AD，BE 相交于点P，求证：(1)P，D，C，E 四点共圆；(2)AP⊥CP.证明：(1)在正△ABC 中，由 BD＝BC，CE＝CA，可得△ABD≌△BCE，∴∠ADB＝∠BEC，∴∠ADC＋∠BEC＝180°，∴P，D，C，E 四点共圆．(2)如图，连接 DE，在△CDE 中，CD＝2CE，∠ACD＝60°，由正弦定理知∠CED＝90°，由 P，D，C，E 四点共圆知，∠DPC＝∠DEC，∴AP⊥CP.证明线段相等或角相等[例 2] 如图，两圆⊙O1，⊙O2相交于 A，B.⊙O1的弦 BC 交⊙O2于 E 点，⊙O2的弦 BD 交...