[A级双基巩固]一、填空题1．(2011·高考辽宁卷改编)i为虚数单位，则＋＋＋＝________.解析：原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0.答案：02．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.解析：由已知得：1＋xi＝y＋2i，∴x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i.答案：2＋i3．a是正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.解析：＝|1－ai|＝＝2，∴a＝±，而a是正实数，∴a＝.答案：4．i是虚数单位，复数＝________.解析：＝＝＝2－i.答案：2－i5．若复数是纯虚数，则实数a＝________.解析：＝＝，∵是纯虚数，故，∴a＝－6.答案：－66．(2011·高考大纲全国卷改编)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·z－z－1＝________.解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2，∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.答案：－i7．若复数(b∈R)在复平面上的点在直线x＋y＝0上，则b＝________.解析：＝＝＝＝－i，故此复数对应点为据题意：－＝0，∴b＝－.答案：－8．(2012·扬州质检)给出下列四个命题：①若z∈C，|z|2＝z2，则z∈R；②若z∈C，z＝－z，则z是纯虚数；③z∈C，|z|2＝zi，则z＝0或z＝i；④若z1，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0.其中真命题的个数为________．解析：①是真命题，|z|2＝z·，所以z·＝z2，所以z＝0或z＝，故z∈R；②是假命题，假如z＝0时不成立；③是假命题，因为|z|2＝z·＝zi，所以z(－i)＝0，故z＝0或z＝－i；④是假命题，假如z1＝1，z2＝i时z1z2≠0，但|z1＋z2|＝|z1－z2|.答案：1二、解答题9．计算：(1)；(2).解：(1)法一：＝＝＝i.法二：＝＝＝＝i.(2)原式＝＝＝＝＝＝－1＋i.10．求同时满足下列两个条件的所有复数z.(1)z＋是实数，且1＜z＋≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．解：设z＝x＋yi(x，y∈Z)．由z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i.由z＋∈R，得y－＝0.解得y＝0或x2＋y2＝10.当y＝0时，z＋＝x＋.由基本不等式可知：x＋≥2或x＋≤－2.与已知1＜z＋≤6矛盾，故y≠0.当x2＋y2＝10时，z＋＝2x.由1＜z＋≤6，得＜x≤3.因为x，y∈Z，所以或所以z＝1±3i或z＝3±i.[B级能力提升]一、填空题1．(2012·南通市、泰州市高三调研)已知集合A＝{2,7，－4m＋(m＋2)i}(其中i为虚数单位，m∈R)，B＝{8,3}，且A∩B≠∅，则m的值为________．解析：∵A∩B≠∅，∴－4m＋(m＋2)i＝8或－4m＋(m＋2)i＝3，解得m＝－2.答案：－22．若z2＝8＋6i，则z3－16z＋的值为________．解析：z3－16z＋＝＝＝＝0.答案：03．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，则纯虚数m的值是________．解析：方程有实根，不妨设其一个根为x0，设m＝ai，(a∈R且a≠0)代入，得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，化简，得(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0.由性质可得解得a＝，∴m＝i.答案：i4．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①a＋≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b.那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．解析：取a＝i，则a＋＝i＋＝0，可得命题①对非零复数不成立；命题②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2为所有数均成立的恒等式，故命题②对非零复数也成立；取a＝1，b＝i，可得|a|＝|b|，但a≠±b，∴命题③对非零复数不成立；若a2＝ab，则a(a－b)＝0，由于a，b为非零复数，∴a－b＝0，即a＝b，∴命题④对非零复数也成立．综上可得对非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是②④.答案：②④二、解答题5．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)．∵z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知，解得2＜a＜6，∴实数a的取值范围是(2,6)．6．设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1＜w＜2.(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设u＝，求证：u为纯虚数；(3)求w－u2的最小值．解：(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0，则w＝a＋bi＋＝＋i，∵w是实数，b≠0，∴a2＋b2＝1，即|z|＝1.于是w＝2a，－1＜2a＜2，－＜a＜1，∴z的实部的取值范围是.(2)证明：u＝＝＝＝－i.∵a∈，b≠0，∴u为纯虚数．(3)w－u2＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2－3.∵a∈，∴a＋1＞0，故w－u2≥2·2－3＝4－3＝1.当a＋1＝，即a＝0时，w－u2取得最小值1.
