考点过关检测（二十七）1．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为D，若直线AB与直线DF的交点为(3a,16)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于S，T两点，证明：|PS|2＋|PT|2为定值．解：(1)由椭圆C的左顶点的坐标为A(－a,0)，上、下顶点的坐标分别为B(0，b)，D(0，－b)，右焦点的坐标为F(c,0)，可得直线AB的方程为y＝x＋b，直线DF的方程为y＝x－b.因为直线AB和直线DF的交点为(3a,16)，所以解得b＝4且3a＝5c.又因为a2＝b2＋c2，解得a＝5，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明：设直线l的方程为y＝(x－m)，即x＝y＋m，代入＋＝1并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则y1＋y2＝－m，y1y2＝.又因为|PS|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理|PT|2＝y，则|PS|2＋|PT|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝41，所以|PS|2＋|PT|2＝41，是定值．2．(2019·资阳模拟)已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(－2,0)，B(2,0)，C三点．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝k(x－1)(k≠0)与椭圆E交于M，N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x＝4上．解：(1)当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝2.又点C在椭圆E上，得＋＝1，解得b2＝3.∴椭圆E的方程为＋＝1.当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则b＝2.又点C在椭圆E上，得＋＝1，解得a2＝3，这与a>b矛盾．综上可知，椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：将直线l：y＝k(x－1)代入椭圆E的方程＋＝1并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设直线l与椭圆E的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.直线AM的方程为y＝(x＋2)，它与直线x＝4的交点坐标为P，同理可求得直线BN与直线x＝4的交点坐标为Q.下面证明P，Q两点重合，即证明P，Q两点的纵坐标相等．∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，∴－＝＝＝＝0.因此结论成立．综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x＝4上．3.(2019·邯郸联考)如图，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为右焦点，直线y＝6x与椭圆C的交点到y轴的距离为，过点B作x轴的垂线l，D为l上异于点B的一点，以BD为直径作圆E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AD与C的另一个交点为P，证明：直线PF与圆E相切．解：(1)由题可知＝，∴a＝2c，b2＝3c2.设椭圆C的方程为＋＝1，由得|x|＝＝，∴c＝1，a＝2，b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)可得F(1,0)，设圆E的圆心为(2，t)(t≠0)，则D(2,2t)，圆E的半径R＝|t|，∴直线AD的方程为y＝(x＋2)．设过F与圆E相切的直线方程为x＝ky＋1，则＝|t|，整理得k＝.由得又∵＋＝1，∴直线PF与圆E相切．4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，点B在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝k(x－4)(k≠0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．解：(1)由右焦点为F2(1,0)，知c＝1.由题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由直线l的方程为y＝k(x－4)知，直线l过定点(4,0)，由椭圆的对称性知，点G在直线x＝x0(x0∈R)上．当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，此时直线l的斜率k＝－，由解得或所以N.由(1)知A1(－2,0)，A2(2,0)，所以直线lA1M的方程为y＝(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝－(x－2)，联立两直线的方程得G，可知点G在定直线x＝1上．当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并整理，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，则Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－
