第7讲立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确答案B2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.答案D3．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()．A.B．(6，－2，－2)C．(4,2,2)D．(－1,1,4)解析设平面α的法向量为n，则n⊥AB，n⊥AC，n⊥BC，所有与AB(或AC、BC)平行的向量或可用AB与AC线性表示的向量都与n垂直，故选D.答案D4．(·全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()．A．2B.C.D．1解析连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OH⊥AC1于点H，因为AB＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以OH＝sin45°＝1.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.解析由已知得＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.答案－2或6．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离． PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．又 △ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.∴PH＝＝a.∴点P到平面ABC的距离为a.答案a三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．(1)证明连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图．设底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C，OC＝，SD＝，则OC·SD＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)解棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量，且DS＝，CS＝，BC＝.设CE＝tCS，则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝，而BE·DS＝0⇔t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，BE⊥DS.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.8．(13分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则N，E(0,0,1)，A(，，0)，M∴NE＝.AM＝.∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又 NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝， D(，0,0)，F(，，1)，∴DF＝(0，，1)∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.分层B级创新能力提升1．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()．A.，－，4B.，－，4C.，－2,4D．4，，－15解析 AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，BC＝(3,1,4)，则解得答案B2．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为()．A.aB.aC.aD.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴|MN|＝＝a.答案A3．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．解析以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE...
