核心素养测评二十八平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=()A.-1B.-C.D.1【解析】选D.a·b=1×2+(-1)×x=2-x=1,所以x=1.2.(2020·十堰模拟)若夹角为θ的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,则|a|=()A.-2cosθB.2cosθC.-cosθD.cosθ【解析】选B.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2a·b+b2,a2=2a·b,|a|2=2|a||b|cosθ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cosθ=2cosθ.3.(2020·铜川模拟)已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量λa+b与b垂直,则实数λ的值为()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为a=(-2,3),b=(1,2),所以λa+b=(-2λ+1,3λ+2).因为λa+b与b垂直,所以(λa+b)·b=0,所以(-2λ+1,3λ+2)·(1,2)=0,即-2λ+1+6λ+4=0,解得λ=-.4.(2019·广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于()A.4B.2C.D.1【解析】选D.因为|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4a·b+4b2=4,4-4·2|b|cos60°+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为()A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为|a|cos
=4,|b|=3,所以a·b=|a||b|·cos=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·太原模拟)如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则·(-)=.【解析】由已知得||=,||=,则·(-)=(+)·=·+·=cos+×=-.答案:-7.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m⊥(m+n),则向量m与n的夹角为.【解析】设m,n的夹角为θ,因为m⊥(m+n),所以m·(m+n)=m2+m·n=1+1×2cosθ=0,所以cosθ=-,又θ∈,所以θ=.答案:【变式备选】已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)·(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为.【解析】设a与b的夹角为θ.由已知a2-2b2+a·b=-2,4-8+4cosθ=-2,cosθ=,又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为.答案:8.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=.【解析】在边长为2的正方形ABCD中,·=0,因为·=(+)·(+)=·(-)=+·-·-=4+0-0-×4=2.答案:2【变式备选】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为;·的最大值为.【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,·的最大值为1.答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·西安模拟)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|2a-b|=.(1)求|2a-3b|的值;(2)求向量3a-b与a-2b的夹角θ.世纪金榜导学号【解析】(1)因为|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4-4a·b+1=5,所以a·b=0,所以|2a-3b|===.(2)cosθ====,因为θ∈[0,π],所以θ=.10.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).世纪金榜导学号(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.所以所求的两条对角线的长分别为4,2.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-.(15分钟35分)1.(5分)(2020·潮州模拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为+1,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.设向量a与b的夹角为θ,因为向量a、b为单位向量,a+b在a的方向上的投影为+1,所以(a+b)·a=|a|,变形得1+a·b=+1,即a·b=1×1×cosθ=cosθ=,又由0≤θ≤π,则θ=,故选A.2.(5分)(2020·大同模拟)已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是()A.∪B.C.(-∞,-2)∪D.【解析】选C.不妨令i=(1,0),j=(0,1),则a=(1,-2),b=(1,λ),因为它们的夹角为锐角,所以a·b=1-2λ>0且a,b不共线,所以λ<且λ≠-2,故选C.3.(5分)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若=2,则·=.【解析】如图,以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),=(-1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为=2,所以E,=,所以·=·(-1,2)=-+=.答案:4.(10分)(2020·郑州模拟)已知向量m=(2sinωx,cos2ωx-sin2ωx),n=(cosωx,1),其中ω>0,x∈R.若函数f(x...
