4．2二次函数的性质课时跟踪检测一、选择题1．抛物线y＝2x2－x＋1的对称轴和顶点坐标分别是()A．x＝，B．x＝，C．x＝，D．x＝，答案：B2．函数y＝－x2＋2x＋3(0≤x≤3)的值域为()A．[0，4]B．[3，4]C．[0，3]D．[2，4]解析：对称轴为x＝1，当x＝1时取得最大值y＝4；当x＝3时取得最小值0.答案：A3．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(2，4]C．[0，4]D．[2，4]解析：函数f(x)＝(x－2)2＋1，对称轴为x＝2，最小值为1，又在区间[0，m]上最小值也为1，则有m≥2，令f(x)＝(x－2)2＋1＝5，得x1＝0，x2＝4，由于函数在[0，2]，[2，4]的值域相同，故2≤m≤4.答案：D4．函数y＝－x2＋2x＋1在区间(－3，a]上是增函数，则a的取值范围是()A．－3
－3，∴－3时，都有y随x的增大而减小，∴f(x)的递减区间是(－∞，0)，.答案：D6．设函数ƒ(x)＝g(x)＝x2ƒ(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()A．(－∞，0]B．[0，1)C．[1，＋∞)D．[－1，0]解析：由题意得g(x)＝如图，g(x)的递减区间为[0，1)．答案：B二、填空题7．如果函数ƒ(x)＝x2＋2ax＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是________．解析：∵ƒ(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2－a2＋2，∴－a≥4，∴a≤－4.答案：(－∞，－4]8．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，顶点为C，则△ABC的面积为________．解析：y＝－x2－2x＋3＝－(x－1)(x＋3)＝－(x＋1)2＋4，由题意得A(－3，0)，B(1，0)，C(－1，4)，∴S△ABC＝×4×4＝8.答案：89．如果一条抛物线的形状与y＝x2＋2的形状相同，且顶点为(4，－2)，则它的解析式为________．解析：依题意可设解析式为y＝a(x－4)2－2，则a＝±，∴y＝±(x－4)2－2.答案：y＝(x－4)2－2或y＝－(x－4)2－2三、解答题10．已知函数ƒ(x)＝x2－2ax＋a－1在区间[0，1]上有最小值－2，求a的值．解：ƒ(x)＝x2－2ax＋a－1＝(x－a)2－a2＋a－1，x∈[0，1]．当a≤0时，ƒ(x)的最小值为ƒ(0)＝a－1＝－2，∴a＝－1；当05时，∵函数f(x)递减，∴f(x)<8.2－5＝3.2(万元)．当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)．∴当工厂生产400台时，可使赢利最大为3.6万元．12．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，试确定实数m的范围．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.即2ax＋a＋b＝2x，所以所以所以f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图像的对称轴为直线x＝，所以g(x)在[－1，1]上递减，故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1.13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，x∈R，F(x)＝(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，又x∈R，f(x)≥0恒成立，∴∴b2－4(b－1)≤0，∴b＝2，a＝1.∴f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.∴F(x)＝(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝＋1－，当≥2或≤－2时，即k∈{k|k≥6或k≤－2}时，g(x)是单调函数．
