【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章5从力做的功到向量的数量积课时作业北师大版必修4一、选择题1．下列命题不正确的是()A．若a·b＝|a||b|，则向量a与向量b同向B．若a·b＝－|a||b|，则向量a与向量b反向C．若a·b＝0，则向量a与向量b垂直D．若a·b>a·c，则b>c[答案]D[解析]由向量数量积公式a·b＝|a||b|cosθ易知，选项A，B，C正确．2．若a·b<0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A．[0，]B．[，π)C．[，π]D．(，π][答案]D[解析]由ab＝|a||b|cosθ知，若a·b<0，则cosθ<0.又 θ∈[0，π]，∴θ∈(，π]．3．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－b|的值为()A．1B．C．2D．3[答案]C[解析]|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12.∴|a－b|＝＝2.4．(2015·重庆理，6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A．B．C．D．π[答案]A[解析]设a与b的夹角为θ，根据题知(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，所以3|a|2－a·b－2|b|2＝0,3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，再由|a|＝|b|得|b|2－|b|2cosθ－2|b|2＝0，cosθ＝，即θ＝.5．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于()A．1B．－4C．－D．[答案]C[解析]a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6|e1|2＋|e1||e2|cos＋2|e2|2＝－6×12＋1×1×＋2×12＝－.6．若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有()A．c⊥aB．c⊥bC．c∥bD．c∥a[答案]A[解析] c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos120°＝12＋11×2×cos120°＝0，∴c⊥A．二、填空题7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝______.[答案]1[解析]考查了向量的数量积，垂直等问题．由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，若a·b＝－1，则a与b夹角180°，与a，b不共线矛盾，∴k－1＝0，k＝1.8．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．[答案][解析]本题考查了平面向量的数量积的运算．由已知|a|＝，|b|＝2，a·b＝5.∴|a|cos
＝|a|×＝＝.三、解答题9．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．[解析](1) (a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝，又|a|＝1，∴|b|2＝，∴|b|＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°.∴a与b的夹角为45°.(2)|a－b|＝＝＝＝，|a＋b|＝＝＝＝，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝＝＝.10．已知|a|＝2，|b|＝4.(1)当a⊥b时，求|a＋b|；(2)当a∥b时，求a·b；(3)若(a＋2b)与(3a－b)垂直，求向量a与b的夹角．[解析](1) a⊥b，∴a·b＝0，∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋16＝20，∴|a＋b|＝2.(2) a∥b，当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|＝8；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|＝－8.(3)由(a＋2b)与(3a－b)垂直，得(a＋2b)·(3a－b)＝0，即3a2＋5a·b－2b2＝0，∴5a·b＝2b2－3a2，∴a·b＝4.2设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝， 0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.一、选择题1．已知a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B．－2C．－1D．1－[答案]D[解析]本题考查数量积的运算．设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－c·b＋c2＝0－(a＋b)·c＋1＝1－(a＋b)·c＝1－|a＋b|·|c|cosθ＝1－·1·cosθ∴最小值为1－，即a＋b与c同向共线时取得最小值．2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则AB·BC的值是()A．1B．－1C．2D．－2[答案]B[解析]解法一：要求AB·BC的值，需知|AB|，|BC|及AB与BC夹角θ的余弦值，由图不难发现θ＝π－B，∴cosθ＝cos(π－B)＝－cosB＝－.∴AB·BC＝|AB||BC|cosθ＝|AB||BC|(－)＝－|AB|2＝－12＝－1.解法二：从射影的角度，|BA|＝1即BA为单位向量，AB·BC＝－BA·BC＝－|BA||BC|cosB，而|BC|cosB＝|BA|，∴AB·BC＝－|BA|2＝－1.二、填空题3．(2015·湖北理，11)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB...
