1.3.2圆内接四边形的性质与判定(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1330，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1圆周上一点，分别连PA、PB并延长交⊙O2于D、C两点.若∠APB＝x，∠ABC＝y，则∠BCD＝()图1330A.180°－yB.180°－x－yC.180°＋x－yD.y－x【解析】∵∠APB＝x，∠ABC＝y，∴∠ABP＝180°－y，∴∠BAP＝180°－x－(180°－y)＝y－x，∴∠BCD＝∠BAP＝y－x.【答案】D2.如图1331，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为()图1331A.30°B.45°C.50°D.60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝∠AOB＝30°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】C3.如图1332所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为()图1332A.4B.3C.2D.1【解析】利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对.【答案】A4.已知Rt△ABC的斜边BC的两个端点分别在x轴、y轴的正半轴上移动，顶点A与原点分别在BC的两侧，则点A的轨迹是()A.圆B.线段C.射线D.一段圆弧【解析】如图，∵∠CAB＝∠COB＝90°，∴四边形ABOC是圆内接四边形.∴∠COA＝∠CBA，并且是定值.∴不管怎样移动Rt△ABC，直线OA的斜率不变.又由题意，可得动点A的轨迹是线段.故选B.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1333，以AB＝4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB＝60°，则EF＝________.图1333【解析】如图，连接AE.∵AB为圆的直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°.∵∠ACB＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC.∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，∴△CFE∽△CBA.∴＝，∵AB＝4，CE＝AC，∴EF＝2.【答案】26.(天津高考)如图1334，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________.【导学号：61650021】图1334【解析】由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P，则△PAD∽△PCB，∴＝＝.又＝，＝，∴×＝×.∴×＝，∴×＝.∴＝.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1335，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E.图1335求证：AB·AD＝BE·CD.【证明】如图，连接AC.∵AE∥BD，∴∠1＝∠2.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∵∠4是圆内接四边形ABCD的一个外角，∴∠4＝∠ADC.∴△ABE∽△CDA，∴＝，∴AB·AD＝BE·CD.8.(全国卷Ⅱ)如图3136，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.图1336(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.解：(1)证明：因为DF⊥EC，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB，＝＝，所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF＝∠CBF.因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F四点共圆.(2)由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB.如图，连接GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍，即S＝2S△GCB＝2×××1＝.[能力提升]9.如图1337，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为E、F、G、H.你能判断出E、F、G、H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想.图1337【解】猜想：E、F、G、H四个点在以O为圆心的圆上.证明如下：如图，连接线段OE、OF、OG、OH.在△OBE、△OBF、△OCG、△OAH中，OB＝OC＝OA.∵PEBF为正方形，∴BE＝BF＝CG＝AH，∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE＝OF＝OG＝OH.由圆的定义可知：E、F、G、H在以O为圆心的圆上.
