3.1.1倾斜角与斜率一、直线的倾斜角1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.2．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.倾斜角与倾斜程度平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.3．倾斜角的取值范围当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是.如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.二、直线的斜率1．斜率的定义我们把一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.注：倾斜角是90°的直线没有斜率.2．斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴；当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着；当α=90°时，斜率k(此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着.3．直线的倾斜程度（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用表示直线的倾斜程度.（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.三、过两点的直线的斜率公式1．公式经过两点的直线的斜率公式为.2．公式的推导如图(1)，(2)，设直线的倾斜角为α(α≠90°)，当直线的方向(即从指向的方向)向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q,于是点Q的坐标为.如图（1），当α为锐角时，.在中，.综上所述，经过两点的直线的斜率公式为.名师提醒（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.K知识参考答案：一、2．向上3．0°≤α<180°二、1．正切值2．平行或重合增大不存在增大3．斜率三、1．2．K—重点直线的斜率、过两点的直线的斜率公式K—难点直线的倾斜角与斜率的关系K—易错直线的倾斜角与斜率的变化关系、斜率不存在的情况1．求直线的斜率（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.【例1】经过两点A(4,2y＋1),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y的值为A．-1B．-3C．0D．2【答案】A【解析】由过两点的直线的斜率公式可得kAB=,解得y=-1.【例2】已知点M，N的坐标分别是，直线l经过点，且与线段MN相交.（1）求直线PM与PN的斜率；（2）求直线l的斜率k的取值范围．【解析】（1）由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为.（2）如图，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又，∴.当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，又，∴.综上所述，.【归纳总结】求直线的斜率的方法：（1）定义法.已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率.（2）公式法.若直线过两点,且,则斜率.（3）数形结合法.已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PA,PB的斜率均存在，则步骤为：①连接PA，PB；②由求出；③结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围.2．三点共线问题两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，...
