第五讲几何中的著名定理一、知识归纳本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理二、例题解析例1：如图△ABC中，AD为∠BAC的角平分线求证：例2：如图，△ABC中，AD为∠A的外角平分线，交BC的延长线于点D，求证：.例3：如图，AD为△ABC的中线，求证：例4：（梅涅劳斯定理）如果在△ABC的三边BC，CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则1AFBDCE12ABCD12ABDECAFBCEGD例5：设O为△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则.三、课堂练习1、如图，P是AC中点，D、E为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则BM：MN：NP＝；2、如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上且DE//BC，设BE与CD交于S，证明BM＝CM。3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。2AMBNCP0123456BDAESCM第五讲几何中的著名定理例题解析答案：例1：证明：过点D作,垂足分别为E、F∵∠1＝∠2∴DE＝DF∴∴又∴＝证明2：如图，过点C作DA的平行线交BA的延长线于点E，由平行线分线段成比例定理得＝又∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4∴∠3＝∠4∴AC＝AE∴＝这就是三角形内角平分线定理例2：这是三角形外角平分线定理，请同学们仿照上面的方法给予证明。例3：证明：过点A作，垂足为E，则,∴∴∴这就是三角形中的中线长定理例4：证明：此题的证明方法有很多，如过点C作CG//AB3ABDCE4123ABCD12ABDECAFBCEGD交FD于点G，∴∴又∴注：梅涅劳斯的逆定理：如果在△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上有点D、E、F且，则D、E、F三点共线。例5：∴同样，塞瓦定理有逆定理，设M、P、N分别在△ABC的边AB、BC、AC上且满足则AN、BP、CM相交于一点。课堂练习答案：略4AMBNCP0123456
