高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质讲义 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．3.2双曲线的简单几何性质1．双曲线的简单几何性质2．等轴双曲线(1)□实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．(2)等轴双曲线具有以下性质：①方程形式为□x2－y2＝λ(λ≠0)；②渐近线方程为□y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；③实轴长和虚轴长都等于□2a，离心率e＝□.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等轴双曲线的离心率为.()(2)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.()(3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P61练习T1)双曲线－y2＝1的实轴长为()A．4B．2C.D．1(2)双曲线x2－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.(3)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________．(4)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________．答案(1)A(2)y＝±x2(3)1(4)－＝1探究1双曲线的简单几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[解]将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，得a＝3，b＝2，c＝，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x＝±x.作草图：拓展提升(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．(3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线．依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形．【跟踪训练1】(1)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的()A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等答案C解析因为0<θ<，所以sinθ>0，cosθ>0，所以双曲线C1的实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率e1＝，双曲线C2的实轴长为2sinθ，虚轴长为2sinθtanθ＝，焦距2＝，离心率e2＝，所以两个双曲线的离心率相等．(2)已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±3x答案A解析椭圆＋x2＝1的焦点坐标为(0，±2)，双曲线my2－x2＝1(x∈R)的焦点坐标为，由题意得＝2，所以m＝，所以双曲线my2－x2＝1即－x2＝1的渐近线方程为±x＝0即y＝±x.探究2双曲线的离心率问题例2(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2)B.C．[2，＋∞)D.(2)我们把离心率e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图是双曲线－＝1(a>0，b>0，c＝)的图象，给出以下几个说法：①若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；②若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)且∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；③若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为________．[解析](1)由题意知，过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足1，∴1