高中数学 1.2.2(2)复合函数的求导法则教案 新人教A版选修1-1VIP免费

1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx（2）推论：''()()cfxcfx（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授用心爱心专心函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ'1nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx['1()log()(01)lnafxxfxaaxa且()lnfxx'1()fxx1复合函数的概念一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作。复合函数的导数复合函数()yfgx的导数和函数()yfu和()ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)yx；（2）0.051xye；（3）sin()yx（其中,均为常数）．解：（1）函数2(23)yx可以看作函数2yu和23ux的复合函数。根据复合函数求导法则有xuxyyu=2''()(23)4812uxux。（2）函数0.051xye可以看作函数uye和0.051ux的复合函数。根据复合函数求导法则有xuxyyu=''0.051()(0.051)0.0050.005uuxexee。（3）函数sin()yx可以看作函数sinyu和ux的复合函数。根据复合函数求导法则有xuxyyu=''(sin)()ss()uxcoucox。例2求2sin(tan)yx的导数．解：'2'222[sin(tan)]cos(tan)sec()2yxxxx2222cos(tan)sec()xxx'2222cos(tan)sec()yxxx【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．用心爱心专心2例3求22xayxax的导数．解：22'22212()222xaxaxxaxaxyxax22222222(2)22aaxaxxaxxaxxax，22'222(2)axaxyxax【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例4求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－21sin22x＝1－41（1－cos4x）＝43＋41cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x[【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例5曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－31或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－31，－2714），过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|＝22716．四．课堂练习1．求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy;(3))2(log2xa2.求)132ln(2xx的导数用心爱心专心3五．回顾总结六．布置作业用心爱心专心4