第3讲平面向量的数量积及应用举例1．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积2.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是.()(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.已知a，b是平面向量．如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝()A.B．7C．5D.解析：选A.由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2a·b＋16＝4，得2a·b＝－21，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝9＋21＋16＝46，所以|a－b|＝.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．解析：因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.答案：7已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×cos－8＝－6.答案：－6平面向量数量积的运算[典例引领](1)(2018·豫南九校联考)已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于()A．－B．1C．2D.(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1【解析】(1)因为a⊥b，所以2m－2＝0，所以m＝1，则2a－b＝(0，5)，a＋b＝(3，1)，所以a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，所以＝＝1.(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－，选择B.【答案】(1)B(2)B在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则AD·AE等于________．解析：法一：(通性通法)因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos60°＝＋22－2××2×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝＝，所以AD·AE＝|AD|·|AE|cos∠DAE＝××＝.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，所以AD＝，AE＝，所以AD·AE＝·＝.答案：(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．[通关练习]1．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()A．－B．－C.D.解析：选D.a＋2b＝(－1＋2m...
