第8讲曲线与方程[考纲解读]1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，能用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题．(重点)2.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，并掌握求曲线方程的两种常见题型：①根据曲线确定方程，可用待定系数法；②求轨迹方程，可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个命题热点．预测2020年高考将会有以下两种命题方式：①用定义法求曲线的方程；②由已知条件直接求曲线的方程．题型为解答题中的一问，试题难度中等偏上．考查知识点多，能力要求较高，尤其是运算变形能力．解题时注意函数与方程思想及等价转化思想的应用.求曲线方程的基本步骤1．概念辨析(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2－6，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案D解析 PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，则PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋(－y)2＝x2－6，化简得y2＝x，轨迹为抛物线．(2)方程x＝所表示的曲线是()A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分答案B解析x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．(3)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0答案D解析设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.(4)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．答案x2＋y2＝4(y≠0)解析由题意得点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(除去M，N两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径r＝|MN|＝2，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(y≠0)．题型定义法求轨迹方程1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．x2＝12yB．y2＝－12xC．y2＝12xD．x2＝－12y答案A解析由题意得动圆圆心到点F(0,3)和直线y＝－3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.2．如图所示，已知点C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且MQ·AP＝0，AP＝2AM.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．解由(x＋)2＋y2＝4知圆心C(－，0)，半径r＝2. MQ·AP＝0，AP＝2AM，∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.如图，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2.又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．由c＝，a＝1，得b2＝1，由此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.条件探究若将举例说明2中的条件“圆C的方程(x＋)2＋y2＝4”改为“圆C的方程(x＋)2＋y2＝16”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．解由(x＋)2＋y2＝16知圆心C(－，0)，半径r＝4. MQ·AP＝0，AP＝2AM，∴QM垂直平分AP，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．由c＝，a＝2，得b＝.因此点Q的轨迹方程为＋＝1.定义法求轨迹方程的适用条件及关键点(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，见举例说明1,2.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．见巩固迁移．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆的圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．答案－＝1(x>3)解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲...
