§5.3平面向量的数量积最新考纲1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.向量的夹角已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|=|a|=夹角cosθ=cosθ=a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤概念方法微思考1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗?提示不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cosθ,而b在a方向上的投影为|b|1cosθ,其中θ为a与b的夹角.2.两个向量的数量积大于0,则夹角一定为锐角吗?提示不一定.当夹角为0°时,数量积也大于0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(√)(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)(3)由a·b=0可得a=0或b=0.(×)(4)(a·b)c=a(b·c).(×)(5)两个向量的夹角的范围是.(×)(6)若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.(×)题组二教材改编2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=________.答案12解析 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.3.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.答案-2解析由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cosθ=4×cos120°=-2.题组三易错自纠4.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.答案2解析方法一|a+2b|=====2.方法二(数形结合法)由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=|OC|.又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.25.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为________.答案解析AB=(2,1),CD=(5,5),由定义知,AB在CD方向上的投影为==.6.已知△ABC的三边长均为1,且AB=c,BC=a,CA=b,则a·b+b·c+a·c=________.答案-解析 〈a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1,∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=-,∴a·b+b·c+a·c=-.题型一平面向量数量积的基本运算1.已知a=(x,1),b=(-2,4),若(a+b)⊥b,则x等于()A.8B.10C.11D.12答案D解析 a=(x,1),b=(-2,4),∴a+b=(x-2,5),又(a+b)⊥b,∴(x-2)×(-2)+20=0,∴x=12.2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于()A.4B.3C.2D.0答案B解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b. |a|=1,a·b=-1,∴原式=2×12+1=3.3.(2019·上饶模拟)设D,E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点,且BC=2,则AD·AE等于()A.B.C.D.答案C解析如图,3|AB|=|AC|=2,〈AB,AC〉=60°, D,E是边BC的两个三等分点,∴AD·AE=·=·=|AB|2+AB·AC+|AC|2=×4+×2×2×+×4=.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例1(1)(2019·永州模拟)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=6,D是AB...